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二階論理と集合論

述語の量化のためには二階論理を使う必要があるということを読んだのですが、 zfcの公理系は一階述語論理の言語で書かれていますよね。 zfcにおいては対象は集合であり、その量化は集合の量化つまり述語の量化になるのではないでしょうか。一階の言葉で書かれた集合論で述語の量化ができているようにみえるのです。 上の内容でなにか勘違い、思い違いをしていると思います。それはどこでしょうか、また集合論と二階論理は本質的に何が異なるのでしょうか。この方面に詳しい方、いらっしゃいましたら助けてください。よろしくお願いします。

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  • 回答No.1

述語 P(x) に対して b={x∈a|P(x)} が存在する ことを保証する分出公理 ∀a∃b∀x(x∈b ≡ x∈a∧P(x)} を ∀P∀a∃b∀x(x∈b ≡ x∈a∧P(x)} と書ける(述語 P を量化できる)のが二階論理です。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。述語の量化を行えるのが二階論理ということは承知しています。 ただ、集合論側でその述語Pとある集合を同一視すれば、 一階の集合論で述語の量化を含む論理式と同等な論理式がかけるのではないでしょうか? お時間ありましたら、さらに教えていただければ幸いです。回答ありがとうございました、参考にさせていただきます。

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