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二階述語論理と高階述語論理について

(1)二階述語論理というものが調べても分からないのですが、一階述語論理の発展形なのでしょうか。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1110226389... 具体例を調べても、これぐらいしか出てきませんでした。 例えば、対象aの性質Pについて、一階述語論理だとP(a)と書けますね。 二階述語論理では対象だけでなく述語も量化できるそうですが、すると、P(a)を量化してQ(P(a))といった記述が可能になるのでしょうか。 (2)二階述語論理のさらに上の三階・四階述語論理といったものは存在しないのでしょうか。 (3)高階述語論理と二階述語論理の関係は何でしょうか。 二階述語論理が、高階述語論理の一部なのでしょうか。

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  • 回答No.3

この質問を理解するためには、 項とは何か、述語とは何か、最も基本的なことについて、 集合またはクラスで説明できることが必要です。 そうすると長くなるので、簡単に説明します。 一階述語論理の最大の問題は量化の範囲です。 一般に、量化の範囲は議論の領域に一致していると仮定されます。 日常言語を例に取りますと、これは次のようなことです: P(a)= 「aは市場に行く」 この否定~P(a)は、それではどんな意味になるのか、考えてみます。 普通は、 1.aは市場に行かなかった 2.aは学校に行った などでしょう。この場合、2では目的地が量化の範囲として仮定されています。 しかし、 3.bは市場に行った 4.aはプールで泳いだ。 なども、P(a)の論理否定ではないでしょうか? (3は主語、4は述語が量化の範囲です) これらの場合、量化の領域が異なっています。 様々な量化の領域を考える場合、量化の領域それ自体の範囲を考える場合、 一階述語論理ではそれを表現できません。 (注:異なる量化の領域たちを別々の(定)集合として与えるだけ) 二階述語論理は集合たちの集まりを量化の領域と考えますので、 上のような状況をきちんと記述することができます。 特に、変項に型を考える場合、型それぞれに特定の集合が対応するわけですから、 二階言語が必要となります。この場合は型理論と呼ばれます。 これ以上の高階の論理も使われますが、 残念ながら私の理解を越えていますし、 一階言語で集合論が完全に記述できるので、 普通の数学では一階言語で十分であると思います。

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質問者からのお礼

> bは市場に行った これは「a」でしょうか? それともaとは別人のbの話でしょうか? また、なぜ「市場に行った」が「市場に行く」の否定となるのでしょうか。 「過去に市場に行ったのだから、現在は行っていない」ということでしょうか。 > この場合は型理論と呼ばれます。 ラッセルの理論ですね。まだ勉強しておりませんが。

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

(1) だけ: 「述語を量化する」というのは, 例えば「任意の述語について~」という命題が書ける, ということです. いちばんわかりやすいのはペアノの公理にある ∀P[{P(0) ∧ ∀k[P(k) → P(k+1)]} → ∀k P(k)] でしょうか.

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 Pが述語であり、それを量化できるということですね。

  • 回答No.1

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質問者からのお礼

Wikipediaはもちろん読みましたが、この記述は私のような初心者には分かりにくいですし、他に分かりやすいページも見つからなかったので、トピックを立てました。

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