2方向から見た傾きが分かる棒の傾きは？

質問

ピサの斜塔みたいに、平面状に斜めの棒が立っているとします。
平面上のある点から見た傾きをa、棒を中心に90度移動した点から見た傾きをbとします。
棒の本当の傾き（ピサの斜塔の場合、3.99度に当たる傾き）は√(a^2+b^2)で合ってるでしょうか。
ちょっと表現が分かりにくくなってしまいましたがよろしくお願いします。

回答No.13

178-tall · ベストアンサー

さらなる蛇足。

>α=Arccos(H/√(A^2+H^2))
>β=Arccos(H/√(B^2+H^2))
>η=Arccos(H/√(A^2+B^2+H^2))
　　　↓
cos(α) = a = H/√(A^2+H^2)
cos(β) = b = H/√(B^2+H^2)
cos(η) = c = H/√(A^2+B^2+H^2)
　　　↓
1/a^2 = (A^2+H^2)/H^2 = 1 + (A^2/H^2)
1/b^2 = (B^2+H^2)/H^2 = 1 + (B^2/H^2)
1/c^2 = (A^2+B^2+H^2)/H^2 = 1 + (A^2/H^2) + (B^2/H^2)

…と整形してみれば一目で、なんじゃありませんか？

お礼

ありがとうございます。
つまり、η＝Arccos(1/√(1/cos(α)^2+1/cos(β)^2-1)) ですね。
Excelでの検算も合いました。

回答No.15

178-tall

< ANo.14 は勘違いので、無視ねがいます。

ANo.11 の sin 形式をひきづったまま、見当違いを書いてました。

ANo.11 の末尾算式なら、所与の a, b から c を勘定できます。

桑原々々。

回答No.14

178-tall

>つまり、η＝Arccos(1/√(1/cos(α)^2+1/cos(β)^2-1)) ですね。

算式は、そうなるのでしょうネ。

>ANo.11 では、α, β を数値で与えられたときの η の算出式を提示したつもりです。
　　↓
つまり、
　1/a^2 = (A^2+H^2)/H^2 = 1 + (A^2/H^2)
　1/b^2 = (B^2+H^2)/H^2 = 1 + (B^2/H^2)
　1/c^2 = (A^2+B^2+H^2)/H^2 = 1 + (A^2/H^2) + (B^2/H^2)
　　　↓
　1/c^2 = (1/a^2) + (1/b^2) - 1
が、当方の狙いでした。

回答No.12

178-tall

>この直方体で言えば、
>α=Arccos(H/√(A^2+H^2))
>β=Arccos(H/√(B^2+H^2))
>η=Arccos(H/√(A^2+B^2+H^2))
>η を α（アルファ）、β で表せるか? になると思います。

そのようですネ。

< ANo.11 の蛇足へ付け足し。

ANo.11 では、α, β を数値で与えられたときの η の算出式を提示したつもりです。

回答No.11

178-tall

< ANo.10 への蛇足。
>(if so, looks like possible)

>　a = A/√(A^2+H^2)　　…(1)
　　　　↓
　(A/H)^2 = a^2/(1-a^2)

>　b = B/√(B^2+H^2)　　…(2)
　　　　↓
　(B/H)^2 = b^2/(1-b^2)

>　c = √(A^2+B^2)/√(A^2+B^2+H^2)　　…(3)
　　　　↓
　1/c^2 = 1 + 1/{ (A/H)^2 + (B/H)^2 } = 1 + 1/{ a^2/(1-a^2) + b^2/(1-b^2) }
　…
　…

かナ？

回答No.10

178-tall

単純なモデルを想定。

幅 A , 奥行 B , 高さ H の直方体にて、
　長方形 A - H の対角線長が √(A^2+H^2)
　長方形 B - H の対角線長が √(B^2+H^2)
　直方体の対角線長が √(A^2+B^2+H^2)
を用いて、
　a = A/√(A^2+H^2)　　…(1)
　b = B/√(B^2+H^2)　　…(2)
とし、「本当の傾き」 c は、
　c = √(A^2+B^2)/√(A^2+B^2+H^2)　　…(3)
で定義。

a, b を与えられたら c を勘定できるのか ？ … というのが題意？
(if so, looks like possible)

補足

この直方体で言えば、
α=Arccos(H/√(A^2+H^2))
β=Arccos(H/√(B^2+H^2))
η=Arccos(H/√(A^2+B^2+H^2))
η を α（アルファ）、β で表せるか? になると思います。
No.11のご回答から考えてみましたが、自力では分かりませんでした。（No.10からNo.11は理解できました）

回答No.9

noname#215361

回答するのも今回で6回目になりますが、漸く分かりました。
26.56505も27.46209も、小数点以下を四捨五入すると27になるので、これは誤差の範囲であるかと思いましたが、実は偶々でした。

A=（k，k，k）（k＞0であれば、どのような実数でもいい）とすると、
必ずa=b=45°になるので、√（a^2+b^2）=45√2≒63.640
OAとz軸とのなす角の大きさをc°とすると、これも一定で、
tan（c）=√2≒1.4142
正接の表から（これはExcelでも求められると思いますが）、
tan54.7°≒1.4124、tan54.8°≒1.4176なので、
54.7＜c＜54.8
よって、√（a^2+b^2）とcとでは、大きな差があります。

以上のように、c=√（a^2+b^2）が明らかに成り立たない場合があることは分かりましたが、自分の能力ではここまでが限界で、成り立つ場合があり得ないのかどうかの証明は出来ません。
なお、今までに色々と考察して来ましたが、傾きを角度で捉えることには、やはり無理があるかと思います。
質問を見て、aとbが角度を表わしていることには、殆ど誰も気付かないか、気付いたとしたら考えることを断念したのだと思います。
では、これで終わります。

お礼

用語(?)の使い方が悪くて分かりにくかったということですね。
もう少し自分で調べてみてダメだったら質問しなおしてみようかな。

回答No.8

noname#215361

c=√（a^2+b^2）が成り立つかどうかの以前の問題として、
A=（3，4，10）から、
単純にc=√（3^2+4^2）/10=√25/10=5/10=0.5
よって、c=26.56505は明らかに誤りであり、式の組み立て方がおかしいと思われます。
計算上必要になるのは、精々三平方の定理くらいなので、組み立てる式はごく簡単な形になる筈です。
Excelを用いるまでもないでしょう。
なお、繰り返しになりますが、正しい考え方はANo.5の通りです。

補足

c=0.5ではなく、
tan(c)=0.5
c=26.56505度
ではないでしょうか。

回答No.7

Asymmetric

なるほど……「傾き」の定義ですか。

ご指摘を受けて文章を訂正します。

(訂正版)

棒の真上から日が照っています。
棒と地面の接点から、陰に沿って歩いてみましょう。

横方向にat 進む
縦方向にbt 進む

真上を向くと棒の高さが判ります。

棒の高さ=t
歩いた距離=t×√a^2+b^2

よって、

傾き=歩いた距離/棒の高さ=√a^2+b^2

となります。

お礼

すみません。上の補足で 誤：角度⇒正：傾き　です。

a：x軸上の正の側から見た傾き。b：y軸上の正の側から見た傾き。
c：本当の傾き（＝OAとz軸とのなす角）

補足

opiok様、Asymmetric様、ありがとうございます。
傾きの定義については、言葉だけで誰にでも伝えられるようにと考えてピサの斜塔を例にしたらと思いついたのですが、かえって混乱させてしまったようで申し訳ないです。
この質問中はこのまま行きたいと思います。
さて、実はお二人の回答が分かれているときに何とかExcelで確認できないかと思い、少し前に完成したのですが、cと√(a^2+b^2)が一致しません。

セルA1から入力で
[A1空白]　　x　　　y　　　z
z軸　　　　0　　　0　　　1
先端A　　　3　　　4　　 10
Ayz　　　　0　　=C$3　=D$3
Azx　　　=B$3　　0　　=D$3
c　 =DEGREES(ACOS(SUMPRODUCT(B$2:D$2,B3:D3)/SQRT(SUMSQ(B$2:D$2)*SUMSQ(B3:D3))))
a　 =DEGREES(ACOS(SUMPRODUCT(B$2:D$2,B4:D4)/SQRT(SUMSQ(B$2:D$2)*SUMSQ(B4:D4))))
b　 =DEGREES(ACOS(SUMPRODUCT(B$2:D$2,B5:D5)/SQRT(SUMSQ(B$2:D$2)*SUMSQ(B5:D5))))

Ayz：先端Aをyz平面に投影した点。Azx：Aをzx平面に投影した点。
a：x軸上の正の側から見た角度。b：y軸上の正の側から見た角度。
c：本当の角度（＝OAとz軸とのなす角）

Aの座標は何でもいいのですがとりあえず上記のとおりA=(3,4,10)とすると、上のcは26.56505。
√(a^2+b^2)=SQRT(B7^2+B8^2)=27.46209。

どこがおかしいか分かりますでしょうか。

回答No.6

noname#215361

しつこいようですが、ANo.5の補足です。

xy平面と棒のなす角の大きさをθとすると、通常傾きはtanθで表わされますが、自分は最初棒の長さを考慮してcosθとしていましたので、これは明らかに誤りでした。
そして、既にANo.5で触れたように、この質問の場合の傾きは1/tanθ=cotθとしなければなりません。
失礼ながら、ANo.2の方の回答中に「傾き=棒の高さ/歩いた距離」とあるので、これは傾きをtanθとしていることになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
No.7のほうに補足を入れましたのでよろしければもう少々お付き合いください。

回答No.5

noname#215361

ANo.1とANo.3の回答者です。
非常に大きな勘違いをしていました。

3次元空間において、棒の根元の座標を原点O（0，0，0）、先端の座標を（x1，y1，z1）とすると、
通常傾きは、z1/√（x1^2+y1^2）であると考えますが、
ピサの斜塔の場合から、この逆数である√（x1^2+y1^2）/z1になります。
a=x1/z1、b=y1/z1であり（棒の長さの見え方は変わっても、高さz1の見え方は変わらない）、棒の本当の傾きをcとすると、
c=√（x1^2+y1^2）/z1→c^2=x1^2/z1^2+y1^2/z1^2=a^2+b^2
よって、c=√（a^2+b^2）

なおこれは、ANo.3の答えにおいて、l1とl2とlをz1に訂正したものになります。