数学IIIに関する問題

質問

写真の485番の解説お願いします。

回答No.2

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f(x)=∫[0,4] |x-(√t)| dt
=∫[0,x^2] (x-t^(1/2)) dt+∫[x^2,4] (t^(1/2) -x) dt
=[xt-(2/3)t^(3/2)][0,x^2]+[(2/3)t^(3/2)-xt][x^2,4]
=(1/3)x^3+{(16/3)-4x+(1/3)x^3}
=(2/3)x^3-4x+(16/3)

f'(x)=2x^2-4=2(x^2-2)
f'(x)=0, x=±√2
0≦x<√2のとき f'(x)<0, f(x)単調減少
√2<x≦2のとき　f'(x)>0, f(x)単調増加
x=√2のとき　f(x)は極小値をとる。
0≦x≦2の範囲で
極小値=8(2-√2)/3は１つのみ。極大値は無し。
∴最小値f(√2)=8(2-√2)/3

最大値はf(0)とf(2)の大きい方であるから
f(0)=16/3, f(2)=8/3
∴最大値f(0)=16/3