2つの導体球による電気抵抗に関して

質問

こんにちは．
電気技術者試験の勉強をしているのですが，分からないことがあるため，質問させてください．

一様な導電率σで満たされた空間内に，それぞれ半径がaとbの導体球A，Bがあるとします．
導体球間の距離がd(d>>a,b)のとき，A-B間の電気抵抗は次のようになると思います．
この式の算出過程は理解できていると思います．

R=(1/4πσ) * (1/a+1/b)

わからないのは，ここからなのですが，このような状況でd>>a,bが成立しないとき，抵抗はどのようになるのでしょうか？

また，この空間内に導体球A,Ｂとは別の2つの電極C,Dがあるとします．
球Aから電極C,Dまでの長さはL１,L2，球Bから電極C,Dまでの長さはL3,L4です．

このとき，電極C,D間の抵抗はどのように求められますか？
私の考えている方法では，球Aから電極C,電極Dまでの抵抗R1，R2，球Bから電極C,Dまでの抵抗R3,R4をそれぞれ別個に求めました．
ですが，これらR1～R4をどのようにまとめればよいかが分かりません．

詳しい方がおられましたら，教えてください．

回答No.3

foobar · ベストアンサー

各電極間の電気抵抗の値と、各電極の電位、電圧（電位差）は切り離して考えるべきでしょう。

話を簡単にするために、電極間の距離が十分大きい（RCD=RC+RDで計算できる）という条件をおきます。

CDの電極が外部回路と繋がっていない（電極に電流の流出入がない）場合、C、Dの電位はほぼ0（無限遠点）になります。
それぞれの電極に電流が流れている場合にどうなるか、というと、それぞれの電極の電位が、無限遠点に対するその電極の抵抗＊その電極の電流、になります。（こういう状況になるので、電極間の抵抗＝無限遠に対する各電極の抵抗の和、てな関係が成立します。）

お礼

追加の質問にも答えて頂き，ありがとうございました．
とても分かりやすい説明で，理解が進みました．
ありがとうございました．

回答No.2

foobar

d>>a,bでないときの抵抗の計算は＃１さん回答のとおり。

C,Dの電極をおいて、CD間の抵抗を求めるには、A,Bを考えずに、直接C,Dの間で電流を仮定して、電圧を計算し、抵抗を計算することになるかと思います。

もし、電極間隔が電極の径より十分大きいなら、球A,B,C,Dから無限遠に対する抵抗RA,RB,RC,RDを考えると、
R1=RA+RC
R2=RA+RD
R3＝RB+RC
R4=RB+RD
ともひとつ、最初に計算したAB間の抵抗RAB=RA+RB
を使って、(R1+R2+R3+R4)/2=RA+RB+RC+RD なので、
CD間の抵抗RCD=(R1+R2+R3+R4)/2 -RAB で計算できるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます．
分かりやすい説明で参考になりました．

#1様の回答に対するお礼でも記入したのですが，私の質問の仕方が悪く，この問題では導体球AB間に電位差が与えられていました．
この場合，各抵抗はどのように変化するでしょうか？

#1様，#2様に教えてもらった方法で，AB間の抵抗は求まると思います．
しかし，Aで発生したすべての電流がCに流れる分けでないので，AC間，AD間などほかの抵抗はうまく求まりません．
AからBに流れる電流と，AからCに流れる電流に分けて考えればいいのでしょうか？

回答No.1

fukusuke6322

抵抗Rは電圧Vと電流Iとから、R = V/Iで計算できることはご承知の通りです。
そこで、２導体球間の電位差Vと電流Iとを求めることがこの問題の課題です。

導体球A,Bにそれぞれ電荷Qと –Qとを設定します。
球Aの電位Vaは自身の電荷Qによる電位と球Bの電荷（－Q）による電位との重ね合わせになります。　（ここで、k = 1/4πεとします。）
Va = -k{∫[∞,a](Q)dr/r^2 + ∫[∞,d](-Q)dr/r^2 }
= k{ Q/r|[∞,a] – Q/r|[∞,d] } = kQ(1/a – 1/d)
同様に、球Bの電位Vbは、
Vb = kQ(1/d – 1/b)
となる。

したがって、電位差Vは、
V =　Va – Vb = kQ(1/a + 1/b -2/d)
V = (Q/4πε)(1/a + 1/b – 2/d)　--- (1)
である。

電流Iは次のようになる。　球Aから流れ出た電流は全て球Bへ流れ込む。
電流密度Jと電界Eとは、オームの法則により次の関係がある。
J = σE

電流Iは電流密度Jを閉曲面で積分すれば求められ、また電界Eは、
E = Q/4πεr^2であるから、
I = ∫J・ｄS = ∫σE・ｄS = (σQ/4πεr^2) 4πr^2
I = σQ/ε　--- (2)
である。

したがって、抵抗Rは、式(1)と(2)より、
R = V/I = (Q/4πε)（1/a+1/b-2/d）/ (σQ/ε)
= (1/4πσ)(1/a + 1/b – 2/d)　--- (3)
この式がd >> a, bでない場合です。

d >> a, bならば、
R = (1/4πσ)(1/a + 1/b)
である。

導体球が4個ある場合は、上の式(3)のように2球ずつの抵抗を求めて、並列接続の合成抵抗Rを求めることになる。
この場合、　Rab, Rac, Rad, Rbc, Rbd, Rcdから、CD間の合成抵抗Rは、
1/R = 1/Rcd + 1/(Rac+Rad) + 1/(Rbc+Rbd) + 1/(Rac+Rab+Rbd)
となると思います。

お礼

回答ありがとうございます．
とても分かりやすい説明でした．

私の質問が悪かったのですが，この問題では導体球A,Bには電位差が与えられています．
導体球C,Dには電位差は特に与えられていません．

この場合でもAB間の抵抗は，教えてもらった方法で計算できると思いますが，AC間，AD間，BC間，BD間はどうなるでしょうか？
AB間のようにAで発生した電流がすべてCやDに流れ込むという考え方はできないとおもうのですが・・・．