同心球導体球の接地について

質問

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか？
（内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。）
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

回答No.1

inara · ベストアンサー

（１）内球と外球の電荷
　　外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
　　すると、外側の球の裏面（内面）には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

（２）Q' を求める
　　外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
　　-Q'（内側の球の表面電荷） + Q'（外側の球の裏面電荷） + Q - Q'（外側の球の表面電荷） = Q - Q'
　　半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε　→ E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
　　半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r～∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
　　外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

　　内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
　　半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε　→ E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
　　半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r～b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
　　式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
　　内側の球は接地されているので、V2(a) = 0 　→　 ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
　　したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

（３）電界分布
　　式[3]を式[1],[2] に代入すれば
　　E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

（４）まとめ
　　a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　c<r　　のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

お礼

詳しい回答ありがとうございます。とても詳しくわかりやすかったです。