平面スカラー場の線積分について
x-y 平面上の領域 D で関数 f(x,y) が定義され、D 内にある平面曲線 C を
x = x(t), y = y(t) (a ≦ t ≦ b) ・・・・・・・ (#0)
で表わすとき、この「曲線 C に沿った線積分」を線素
ds = √(dx^2 + dy^2) = √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt
を使って
∫_C f(x,y) ds
= ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) √( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt ・・・・・・・ (#1)
と定義する。
(#1)が「曲線 C に沿ってできる」x-y 平面に垂直なカーテン状の曲面の面積を表すことはわかりやすいのですが、ちょっとわかりにくいのが「曲線 C に沿ってできる x に関する」線積分
∫_C f(x,y) dx = ∫[a,b] f( x(t),y(t) ) dx/dt dt ・・・・・・・ (#2)
の定義です。もし、(#0) の曲線 C の y と x が一対一に対応していたら、(#2) の線積分は (#1) の曲面を x-z 平面に投影した図形の面積を表すと解釈してよいのでしょうか。
ベクトル解析の参考書を2冊持っているのですが、そんな説明はどちらの参考書にもないので心配なのです（笑）。
