スカラー関数

質問

スカラー関数V(x,y,z)=xy+3x^2y-2yz^2について、点(1,1,1)における傾きを求める問題ですがこれはどのように解いていったらいいのでしょうか？基礎が全くできていないのでお手柔らかにお願いします。

回答No.4

noname#221368

＞例えば数学でしたらy=x^2の傾きを求めるにはxについて微分すればいいわけですよね？それとは違うんですよね。
　たしかに傾きが一個の数値にはならないという意味では、ふつうの微分とは違います。ここで普通とは、y=x^2のような一変数関数という事です。でも本質は同じです。subliminalさんが混乱している理由は、傾きという用語が、めったに正確に使用されないからだと思います（正確な定義はあります）。
　以下では、偏微分，全微分は既知とします。ここで駄目なら、またご質問下さい。

　一変数関数y＝f(x)において、微分は、
　　dy/dx＝f'(x)
となりますが、正確にはこれは、微分係数（傾き）です。本当の微分は、次の形になります。
　　dy＝f'(x)・dx
　上式の意味は、独立変数xが、xからちょっとだけx＋dxに変化したときに、yの変化dyは、dx＝(x＋dx)－x に比例するというものです。多変数関数においても事情は同じです。感じをつかむ為には、二変数関数z＝f(x，y)でやれば十分です。
　二変数関数z＝f(x，y)においても、独立変数(x，y)がちょっとだけ(x＋dx，y＋dy)に変化したときに、zの変化dzは、(x＋dx，y＋dy)－(x，y)＝(dx，dy)に比例するというのが、微分（全微分）です。式で書けば、
　　dz＝∂f/∂x・dx＋∂f/∂y・dy
になります。では、微分係数（傾き）は？。いまの場合、(x，y)は(x＋dx，y＋dy)に進んだのですから、その間の距離は、ds＝(dx^2＋dy^2)^(1/2)です。従って、傾きdz/dsは、

　　dz/ds＝∂f/∂x・dx/ds＋∂f/∂y・dy/ds

になります。2次元座標平面に(x，y)と(x＋dx，y＋dy)を描くとすぐわかるのですが、
　　dx/ds＝dx／(dx^2＋dy^2)^(1/2)＝cosθ
　　dy/ds＝dy／(dx^2＋dy^2)^(1/2)＝sinθ
とおけます。ポイントは、(cosθ，sinθ)を勝手に与えられる事です。そりゃそうじゃないですか。2変数関数なんですから、どっちの方向に動くかによって、傾きが変わるのは当然です。実際これを用いると、
　　s：θ方向．
　　dz/ds＝∂f/∂x・cosθ＋∂f/∂y・sinθ
と書けます。そこでこれを内積形式で表し、

　　dz/ds＝(∂f/∂x，∂f/∂y)・(cosθ，sinθ)＝grad(f)・s

と書き、grad(f)をfの傾きと言ったりします。なぜなら変化方向sは人間の勝手だけれど、fによって定まるgrad(f)があれば、任意の方向の傾きを計算できるからです。ちなみに全微分の幾何学的解釈は、(x＋dx，y＋dy)をあらためて(x，y)と置き直し、dz＝z－z0，(dx，dy)＝(x－x0，y－y0)と微小範囲を超えて延長した場合には、

　　z－z0＝∂f/∂x・(x－x0)＋∂f/∂y・(y－y0)

になるので、接平面だというわけです。偏微分係数∂f/∂xと∂f/∂yの値は、(x0，y0)におけるもので、この考えは、一変数の場合と同じです。

回答No.3

ksugahar

イメージをすると実は、4次元になってしまうので、幾何学的イメージは、一部の数学ができる人にしか無理です。

まずは、もう少し簡単なV(x,y) = x^2+y^2 の点(1,1)における傾きから考えてみたらどうでしょうか？傾きは、接平面になります。接平面を特徴つける量なので、皆さんはベクトルと言われてるのでしょうね。

私は、仕事で電磁気をしていますが、gradという演算はしょっちゅう使います。

お礼

回答ありがとうございます。
すいません、基礎からさっぱりなので簡単なその問題でさえよくわかりません。例えば数学でしたらy=x^2の傾きを求めるにはxについて微分すればいいわけですよね？それとは違うんですよね。すいません、無知なもので。

回答No.2

noname#101087

スカラー関数 f(x,y,z)の "grad" は、f の x,y,z-軸方向の「傾き」を各座標成分とするベクトルです。
　　x 方向の傾き : ∂f(x,y,z)/∂x
　　y 方向の傾き : ∂f(x,y,z)/∂y
　　z 方向の傾き : ∂f(x,y,z)/∂z
-----------------------------------
>スカラー関数V(x,y,z)=xy+3x^2y-2yz^2について、点(1,1,1)における傾きを求める...
これは、
　　x-軸方向の傾き at P(1,1,1) : ∂V(x,y,z)/∂x = y+6xy = 1+6 =7
などを求める問題だと早合点しました。

>数学と同じ解き方ではいけないということなのでしょうか....
"grad" と違うのなら、何を求めよといわれているのでしょうか... 。

お礼

回答ありがとうございます。
つまり、x,y,zに関して微分したものに点(1,1,1)を代入するということでしょうか？すいません、無知で。本当に電磁気の「で」の字もわからない状態なので（汗

回答No.1

noname#101087

「傾き」= grad　　(ベクトル解析において、スカラー場の変化率を表すベクトル場)でよろしいですか？

まずは、
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D
　>勾配
のページをご一読ください。
答えは「ベクトル」になります。

お礼

すいません、参考先を拝見したのですがよくわかりませんでした。
答えはベクトルになるとはどういったことなのでしょうか？
数学と同じ解き方ではいけないということなのでしょうか