スカラー場．ベクトル場のイメージ

質問

現在，独学でベクトル解析を勉強しているのですが，
スカラー場 F(x,y,z)，ベクトル場 F(x,y,z)=[f,g,h]の場のイメージが掴めません．（f,g,hは，x,y,zの関数です．）

また，スカラー場 F(x,y)は3つの直交した軸上で表されると思うのですが，そのように考えると F(x,y,z)は図示できないような気がします．
実際は，どのようにイメージされているのでしょうか？
分かりにくい質問で申し訳ないのですが，ご回答宜しくお願いします．

回答No.3

Meowth · ベストアンサー

F(x,y)は3つの直交した軸上で表される
というのが意味不明
F(x,y）　はF(x,y,z)のこと？
3つの直交した軸（デカルト座標、直角座標）のことなら
そのような空間内の点として位置がきまり
そこで値を持つ。

もしかしたら 2次元の話か。
スカラー場 F(x,y)は　ｘ、y平面上の点（ｘ、ｙ）で
１つの値があるような場。
その値をｚ座標にとれば、スカラー場 が（ｘ、ｙ、ｚ）
の点としてあらわされる。
ｘ、ｙ平面内に温度分布があるような場合、温度にしたがって、
高い低いをつけて、山のようにしたものが、F(x,y)を、ｚ＝F(x,y)
として描いた3次元の平面。
3次元のスカラー場は、空間、部屋の中の温度分布のようなもの。
対応して作ろうと思えば、4次元空間でないと、山のようにはえがけない。
そのように考えると F(x,y,z)は図示できない
のは当然。
ということで、可視化しようとすると、色々な断面できったときの
温度分布を等高線図や色わけで図示することになる。

ベクトル場 F(x,y,z)=[f,g,h]は空間の位置をきめると
ベクトル（矢印）が１つ決まるような場
流体の流れ場とかが一番見やすい。磁場は可視化しにくい。
流れ場も可視化するには結構大変だが、コンピュータの３D画面内に小さい
矢印（向きと長さ）を分布させれば、結構イメージは分かる。
さらにベクトルの大きさで色分けしたり、して図示する。

お礼

ご回答ありがとうございます．
>スカラー場 F(x,y)は　ｘ、y平面上の点（ｘ、ｙ）で１つの値があるような場。
のところが，理解できていませんでした．
3次元のスカラー場の場合は，"(x,y,z)で与えられた場所で１つの値をとる場"ということなのですね．
とても分かりやすかったです．

回答No.5

fuuraibou0

ｘ＝√２、ｙ＝５、ｚ＝３　として、点Ａを　（ｘ，ｙ）、点Ｂを　（ｘ，ｙ，ｚ）とすると、

０Ａ＝√（２＋２５）＝３√３　で、スカラー場なら、ＯＡ＝ＡＯ＝３√３　の長さのみですが、ベクトル場では、原点Ｏ→点Ａ　に向かう　ＯＡ＝＋３√３　と、点Ａ→原点Ｏ　に向かう　ＡＯ＝－３√３　があります。

また、ＡＢ＝３　であるから、ＯＢ＝√（２７＋９）＝６　になり、スカラー場では、ＯＢ＝ＢＯ＝６　の長さのみですが、ベクトル場では、原点Ｏ→点Ｂへ
向かう　ＯＢ＝＋６　と、点Ｂ→原点Ｏへ向かう　ＢＯ＝－６　がありますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます．
数字からイメージするのも大切だと感じました．
参考書などを読み返して，より理解を深めたいと思います．

回答No.4

BookerL

スカラー場のイメージ
　空間の各点において、スカラー量が決まっている、ということで、空中の気温のイメージはどうでしょう。
　一点 (x,y,z) を指定すると、そこの温度 F(x,y,z) が決まります。Ｆは数値です。

　ベクトル場のイメージ
　空間の各点において、ベクトル量が決まっている、ということで、風の向きのイメージはどうでしょう。
　一点 (x,y,z) を指定すると、そこの風向き F(x,y,z) が決まります。Ｆは風向きなので、ベクトル量です。

お礼

ご回答ありがとうございます．
気温と風向きで場をイメージするのは，とても分かりやすかったです．
みなさんのおかげで大分イメージが掴めてきました．

回答No.2

sanori

こんばんは。

二次元的な例としては、地図があります。
同じ高さの等高線の上に置かれた物体は、同じ位置エネルギーを持っています。
この位置エネルギーが、スカラー場です。
また、
同じ高さの等高線の上に物体をそっと置くと、物体は等高線と垂直な方向に転がったり滑っていったりします。
つまり、物体をそっと置いた直後に物体にかかる加速度の大きさと方向がベクトル場です。
等高線の間隔が狭いほど、ベクトルの絶対値は大きくなります。

三次元では、

重力で言えば、
空間にそっと物体を置いたとき、他の天体による万有引力で物体にかかる加速度の大きさと方向がベクトル場で、
位置エネルギーがスカラー場です。

電磁気学で言えば、
静電ポテンシャルは、位置エネルギーと同じ話になるので、スカラー場、
電界（電場）がベクトル場です。

お礼

ご回答ありがとうございます．
電磁気学も同時進行で勉強しているので，電磁気学に関連したご回答はとてもためになりました．
静電ポテンシャルや電界のイメージも少し理解できたように思います．

回答No.1

kabaokaba

>実際は，どのようにイメージされているのでしょうか？

例えばベクトル場として大気中の風を考えると，
風の強さがスカラー場になるわけです．
これならイメージわきます？
二次元の類推で三次元，三次元の類推で四次元とか・・・
ある程度経験すれば直観が得られます．

私個人としてはいちいち図はイメージしません．
ある程度形式的に処理してしまいます．
絵を描く場合でも，平面を直線で表して次元を落としたり，
射影や断面をとることで次元を落としたりします．

あとは線型代数とかを根入れてやっておくと多次元の世界でも
比較的すんなりイメージできるというか，
わざわざ「図をイメージしなくても」直観が働くようになると
思います．

お礼

ご回答ありがとうございます．
大気中の風のイメージはすごく分かりやすかったです．
>ある程度経験すれば直観が得られます．
もっと勉強して場の概念に慣れようと思います．