- ベストアンサー
永年行列式を用いた解法
101325の回答
D_{n}を小行列式で展開すると D_{n}=λD_{n-1}-D_{n-2} となることを示すことができます。D_3,D_4,D_5 を小行列式で展開して確認してから、n のときを証明してみてください。 同じように、R_{n}を小行列式で展開すると R_{n}=λD_{n-1}-2D_{n-2}-2(-1)^n となることを示すことができます。R_3,R_4,R_5 を小行列式で展開して確認してから、n のときを証明してみてください。 Rn(λ)=0 の根は、x=2πk/n (k=1,2,...,n)として λ=-(exp(ix)+exp(-ix))=-2cosx となります。 固有ベクトルの第r成分をc_r=exp(irx)と仮定して連立方程式に代入すれば λexp(ix)+exp(2ix)+exp(nix)=0 exp(ix)+λexp(2ix)+exp(3ix)=0 …… exp(i(r-1)x)+λexp(irx)+exp(i(r+1)x)=0 …… exp(i(n-2)x)+λexp(i(n-1)x)+exp(inx)=0 exp(ix)+exp(i(n-1)x)+λexp(inx)=0 となるので、これらの式から exp(inx)=1 であれば λ=-(exp(ix)+exp(-ix))が Rn(λ)=0 の根となることが分かります。
関連するQ&A
- 行列の行列式の求め方がわかりません
こんにちは大学１年のものです。線形代数を履修しているんですが次のような行列の行列式がわかりません。 １行目は{０,０,０,・・・・・・・,a(1,n)} ２行目は{０,０,０,・・・・・,a(2,n-1),a(1,n)} ３行目は{０,０,０,・・・・・,a(3,n-2),a(1,n-1),a(1,n)} ・・・・・・ｎ行目は｛a(n,1),a(n,2),・・・・・,a(n,n)} といった行列の行列式の計算なんですけど、行列式の性質で列行列を左にずらしていくと行列式は(-1)^N×a(1,n)×a(2,n-1)×a(3,n-2)・・・a(n,n)になると思うのですが(-1)のＮ乗のＮの求め方ががわかりません。 わかりにくいですがよろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 基底の取り替え行列について
「体K上の線型空間Vのベクトルxを、2つの基底E=<e_1,・・・,e_n>，F=<f_1,・・・,f_n>によってそれぞれx=x_1 e_1+・・・+x_n e_n =y_1 f_1+・・・+y_n f_n と表すとき、(x_i) = (p_{ij})(y_i)が成り立つ。行列P=(p_{ij})を、基底の取り替え行列という。」(斎藤正彦著「線型代数」ｐ106)とありますが、この下に記述してある「見方を変えてf_iをe_1,・・・,e_nの線形結合として表してみると、簡単な計算によりf_i=Σ_{j=1}^{n} p_{ji}e_j (i=1,2,・・・,n)となることがわかる」の部分が、どうしてそうなるのかがわかりません。 いろいろと計算してみましたが、なかなか上手くいかず、わかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？ （ただし、(x_i)は第ｉ成分がx_iの列ベクトル、(ｙ_i)は第ｉ成分がｙ_iの列ベクトル、P=(p_{ij})はn×n行列、Σ_{j=1}^{n}はj=1からj=nまでの和(tex的には\sum{j=1}^{n})とする。）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 表現行列の正確な意味とは?
宜しくお願い致します。 [Q]Let T∈L(V).Write down matrix representation of [T]_β and [T]_β' given the following basis: β:v1,v2,…,vn β':v'1,v'2,…,v'n という問題なのですがこの場合の表現行列とは何を意図するのかはっきりわかりません。 『[定義] n次元F線形空間Vの基底を{v1,v2,…,vn}とし、map g:V→F^nを V∋∀Σ[i=1..n]civi→g(Σ[i=1..n]civi):=t(c1,c2,…,cn) (tは転値行列を表す) でgを与えるとgは同型写像となる。 ここで{v1,v2,…,vn}の順序を変えるとgは別物になってしまうのでこの順序を込めた 基底 {v1,v2,…vn}をβ:=[v1,v2,…,vn]と表す事にし、このgをβによって決まる同型写像 と呼ぶ事にする。 m次元F線形空間Wの基底をβ':=[w1,w2,…,wm]によって決まる同型写像をh:W→F^mと し、 線形写像f:V→Wに対し、合成写像hfg^-1:F^n→F^mは線形写像となる。 行列表現とは始集合のF線形空間Vの基底[v1,v2,…,vn]=:βと終集合のF線形空間Wの 基底[w1,w2,…,wm]=:β'とし、f∈L(V,W)において f(vj)=Σ[i=1..m]aijwi (j=1,2,…,n)で定まる行列(aij)=:Aを βからβ'へのfによる行列表現という』 だと思います。 つまり、表現行列を正確に述べるには"基底何々から基底何々への線形写像何々による表現行列" という風に3項目はっきり述べないといけないと思います。 さて、線形変換の場合, 上記の問題文で[T]_βと書いた時、これは (1)基底βからβへの線形写像Tの表現行列 (2)基底βからβ'への線形写像Tの表現行列 (3)基底β'からβへの線形写像Tの表現行列 のどれを意図しているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 転置行列の成分について
線形代数学の転置行列について質問です A=(aij),B=(bij)を（m,n）型行列とするとき、Bの転置行列ｔBの第i行の成分を書き下せ。 という問題なのですが、 僕は「ｔBの第i行成分はBの第i列成分と等しいので b1i ,b2i ,…,bmiとなる」のだと思っていたのですが、友達に聞くと 「b1j,b2j,…,bmj」だと言われました。 そもそも「tB1の～」という部分が僕の考え間違いなのでしょうか。 どなたかわかりやすく教えてください、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列式の問題なのですが、n次正方行列に対して、detAB=detAde
行列式の問題なのですが、n次正方行列に対して、detAB=detAdetBを示せという問題の回答の中の記述なのですが、次の画像のような記述はあっているのでしょうか？ 正しいのなら私は多重線形性について正しく理解できていないかもしれないので、この問題の中でどのように多重線形性が使われているのか説明して欲しいです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうごさいました