高校数学6-20

質問

離散型の確率の期待値と連続型の確率の期待値の求め方が同じになる事の証明をお願いしたいです　離散型の期待値はΣ確率変数×その確率変数の起きる確率でした、連続型の期待値は∫確率変数×確率密度関数となっているのですが、これが意味的に同じであるそうなのですが
何故同じであると言えるのか証明していただきたいです

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

離散型確率変数の期待値は

離散型確率変数の期待値＝Σ確率変数×その確率変数の起きる確率

=Σ(i=1,n)xi・p(xi)　　 　　（1）

連続型確率変数の期待値は積分で表され、正しくは

連続型確率変数の期待値＝∫確率変数×確率密度関数dx=∫(a→b)xf(x)dx　　　（2）

で表されます。

（2）は曲線y=xf(x)とx軸の間の面積で、幅dxの短冊に切って足し合わせる

という定積分の定義より

∫(a→b)xf(x)dx=lim(n→∞) Σ(i=1,n)[xif(xi)dx]

f(xi)dxはｘ～x+dxの中に入ってくる確率で離散型確率変数に関する（1）式のp(xi)と同じ意味になります。

よって(1)は離散型確率変数について,(2)は連続型確率変数について、内容は同じ意味を持っています。

お礼

御返答有難うございます

補足

>（2）は曲線y=xf(x)とx軸の間の面積で、
x=a,bと曲線y=xf(x)とで囲まれた面積じゃないんですか？

>∫(a→b)xf(x)dx=lim(n→∞) Σ(i=1,n)[xif(xi)dx]
この両辺が同じになるのが何故なのか分かりません

回答No.7

noname#201809

もう一度聞くけどあなたがいう「同じ意味」というのを数学的にどのように定義していますか？

そこをはっきりしないと禅問答になります。

回答No.6

kaminari5656

私の回答をきちんと読んでいればそのような補足にはならないでしょう。
両者の違いも記載しております。

回答No.5

kaminari5656

・積分でやっているのは「総和」であること
・積分とΣの違いは刻みの粗さ（言い換えれば連続なのか飛び飛びなのか）であり、
　概念としては同じであること

これらが理解できていれば、このような質問は出ないはずであり、「証明しろ」と
いわれればそれはむしろ定義とか概念の問題であり、積分の基礎を勉強し直せと
しか言えませんね。

お礼

御返答有難うございます

補足

でも同じなら何故使い分けているのですか？両方Σにするか∫にするかで統一したほうが良くないですか？

回答No.4

yyssaa

補足
見ましたが、これでは分かりません、詳しい解説を是非お願いします
＞何が分からないのか分からない。それぞれ別に定義されているものを
同じであると証明するとはどういうことかね？

お礼

御返答有難うございます

補足

離散型の期待値は確率変数×確率変数の起きる確率を足し合わせていきますよね

連続型の期待値は確率変数の起きる確率を離散型のようにピンポイントでは求まらないのですが～から～までの確率というようにある程度範囲のある確率は確率密度関数と言うのが与えられていてそれを使って求まるのですが、

それを使って期待値を求めようとする時に最終的に離散型の期待値の確率変数×確率変数の起きる確率と同じ意味になるようにできませんかって事です　公式では∫確率変数×確率密度関数dxみたいになってますよねこれの意味を何とか連続型の確率変数×確率変数の起きる確率の和と同じになるように説明していただきたいんです

回答No.3

noname#201756

「同じになる」というのを誰から聞いたのか知りませんがどういう意味で使っていますか？

それらは「証明」するようなものではなく、期待値の定義として無条件で受け入れるべきものです。

問題集で初めて出くわした概念なのであれば、あっちこっちに聞いたりせずに一度教科書の該当部分を通読するべきです。

お礼

御返答有難うございます

補足

読みましたが、同じには見えなかったんですよね、でも意味は同じらしいんです

離散型だと確率変数×確率変数が起きる確率を足していくわけですが連続型だと確率変数の起きる確率が離散型みたいにピンポイントでは分からないわけです、連続型の場合～から～までの確率なら～と言う風に確率密度関数を使って表せるんですが、それを使って期待値を求める時に同じになるようには見えなかったわけです　何とか同じだと言えるように証明できないですか？

回答No.1

yyssaa

＞http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4
などで勉強したらいい。

お礼

御返答有難うございます

補足

見ましたが、これでは分かりません、詳しい解説を是非お願いします