リー代数 単純ルート

質問

リー代数の単純ルートに関してわからないことがあります。

(h*_R)：双対実カルタン部分代数
Δ：ルート系
｛v_1,…,v_n｝：(h*_R)の基底

(h*_R)の一つの元αは、α＝Σ^n_(i=1)(a_i)(v_i)（a_i：実数）と書くことができ、別の元βはb_iを用いて表現できる。ここでαとβの大小関係を以下で定める。
α＞β⇔ a_1=b_1,…, a_(s-1)=b_(s-1), a_s＞b_s（1≦s≦n）
この大小関係で、α＞0となるα全体の集合を(h*_R)+と書き、さらに、Δ⋂ (h*_R)+＝Δ+とおく。

αをΔ+の中で上記の大小関係で最小のもの、すなわち、α_1=min(Δ+)とする。
また、Δ+からα_1の実数倍となる集合＜α_1＞を除いたものを、(Δ+)－＜α_1＞と書き、α_2=min((Δ+)－＜α_1＞)とおく。
次に、α_1, α_2の線形結合で表わされる２次元実部分空間を＜α_1, α_2＞と書き、Δ+からその空間を除いたものを、(Δ+)－＜α_1, α_2＞と書いて、α_3=min((Δ+)－＜α_1, α_2＞)とする。
これを続けるとn個の元の集合Π＝｛α_1,…,α_n｝が得られる。このように作ったΠの任意の元α_iに対して次が成り立つ。
(1)α_i∈Δ+
(2)α_i＝β＋γ（β,γ∈Δ+)と表わすことができない。
この２つをみたすルートを単純ルートという。

と本にあったのですが、α_iに対して、(2)がなぜ成り立つのかがわかりません。
大変恐縮ですが、証明を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

jmh

{v_1, …, v_n} での成分表示を考えるとβとγはどちらもα_iより小っさくないといけないような気がします。そうだとするとα_iはminだからβとγはα_1, α_2, …, α_(i-1)の線型結合の方なんだけどそうするとα_i=β+γもそうなってしまうからそれはできない感じがします。