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－２ＪＳi・Ｓj の導出
私は大学院で磁気学を勉強している者です。いま、交換相互作用について文献調査をしているのですが、強磁性体の物理（上）という本に以下のような内容が記されていました。 交換相互作用をはじめて指摘したのは1928年のHeisenbergによる論文である。彼によるとスピンＳi（ベクトル）とＳj（ベクトル）とをもつi番目の原子とj番目の原子の間には －２ＪＳi・Ｓj （１） の形のエネルギーをもつ相互作用が働く。ここでＪは交換積分。 この交換積分Ｊは自分で計算して導くことができたのですが、（１）式を導くことができませんでした。この（１）式の導出のしかたを教えてください。また、この質問に関する文献・URL（1928年のHeisenbergによる論文など）がありましたら教えてください。よろしくお願いします。
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- KENZOU
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＞導出の途中で『置換演算子Ｐ』という言葉が出てきたのですが、よく分かりませんでした。この置換演算子Ｐはどういう式で与えられているのですか？ 置換演算子は波動関数の対称性を考慮しているのですね。つまり、電子のような半整数のスピンを持つ粒子をフェルミ粒子（電子、陽子、中性子等）と呼んでいますが、今、Ｎ個のフェルミ粒子の波動関数をψ(x1,x2,・・・xn)とすると、このN個の変数の任意の2個を入れ替えるとψは符号を変えます（反対称）。変数xiとxjを交換する演算子（置換演算子）をPijと書くと Pijψ(x1,x2,・・・xn)＝－ψ(x1,x2,・・・xn) (1) となります。ちなみに整数スピンをもつ粒子をボーズ粒子（光子、α粒子等）と呼んでいますが、ボーズ粒子の場合、(1)は Pijψ(x1,x2,・・・xn)＝ψ(x1,x2,・・・xn) (2) となって、波動関数は変数の交換に対して対称となります。以上のことを一般的な形にすると、x1,・・・xnのN個のものの任意の順序を並べ替える演算子をＰで表すと、 Ｐψ(x1,x2,・・・xn)＝(±1)^pψ(x1,x2,・・・xn) が成立します。ここでp=0が偶置換、p=1が奇置換を意味します。±の＋1はボーズ粒子、－1はフェルミ粒子の場合です。 置換演算子は群を形成します（置換群）がこのあたりの話は適当なテキストを参照されるといいでしょう。 (p.s) 多体問題では基底状態の波動関数を1つの行列式で表すことがありますね。確かスレーターの行列式とか呼んでいましたかね(←うろ覚え）。Hartree-Fock近似の話でよくでてきたと思いますが、これは行列式ですから行を交換すると符号が反転しますね。置換演算子はこのイメージで捉えると分かりやすと思います。
お礼
詳しい説明ありがとうございました。量子力学は初心者なので、ここら辺の話は本当に分かりづらかったのですが、よく理解することができました。特に、最後のスレーターの行列式のイメージがとても分かりやすかったです。 今後ともよろしくお願いします。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
本格的な磁性の教科書ならたいてい載っています． 手元の本をいくつか見てみました． ○ 小口武彦著「磁性体の統計理論」裳華房 これは KENZOU さんご紹介の本． ○ 金森順次郎著「磁性」培風館(新物理学シリーズ) ○ 永宮健夫著「磁性の理論」吉岡書店 ○ 芳田奎「磁性」岩波書店 著者はいずれも磁性理論の大御所です．
お礼
ご回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。
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補足
ご回答ありがとうございます。返事が遅れてしまって申し訳ありません。 教えていただいた「磁性体の統計理論」という本を見つけたので、さっそく（１）式の導出を行ってみました。導出の途中で『置換演算子Ｐ』という言葉が出てきたのですが、よく分かりませんでした。この置換演算子Ｐはどういう式で与えられているのですか？