電磁気の電束のベクトル計算について

質問

ある一様な電場Ｅ＝3i＋2jが面積ベクトルＡで表されるＡを貫いている電場を求めよ

問１　
Ａ＝i+3j
ε×Ｅ×Ａ＝（3i+2j)×（i＋3j)=9ε

問２
A=5k
ε（5ｋ）×（i＋３ｊ）＝0Ｃ

と回答がなるのですが上の式と下の式がどうして係数が9と0になるのかよくわかりません
過程も含めてご教授お願いします

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞ある一様な電場Ｅ＝3i＋2jが面積ベクトルＡで表されるＡを貫いている電場を求めよ

求めているのは電束ですよね？

電場と面積ベクトルの内積になるので

電場 (3, 2, 9)
面積ベクトル (1, 3, 0)

なら

(3, 2, 9)・(1, 3, 0)ε　= (3 x 1 + 2 x 3 + 9 x 0)ε = 9ε

同じく

電場 (1, 3, 0)
面積ベクトル (0, 0, 5)

なら

(1, 3, 0)・(0, 0, 5)ε　= (1 x 0 + 3 x 0 + 0 x 5)ε = 0ε

回答No.1

rnakamra

書き方に問題があります。

>Ａ＝i+3j
ε×Ｅ×Ａ＝（3i+2j)×（i＋3j)=9ε

この書き方は間違っています。
εE・A=ε(3i+2j)・(i+3j)=9ε
と書かなければいけません。

ベクトル同士の積としてスカラー積(内積)とベクトル積(外積)があります。
スカラー積：A・B
ベクトル積：A×B
英語ではみたまま前者を"dot product",後者を"cross product"といいます。
この表記はベクトル解析におけるお約束ですので自分で勝手に変えてはいけません。
気を付けてください。

電束密度Dが面ベクトルAの面を貫いているとき、その面を貫く電束Φは
Φ=D・A
で表されます。
また電束密度Dは電界E、誘電率εを用いて
D=εE
となりますので
Φ=εE・A
となります。

これを計算するには実際にスカラー積を計算すればよいのです。
i,j,kはデカルト座標系におけるx,y,z軸方向の単位ベクトルです。つまり、
i・i=j・j=k・k=1 (i・i=|i|^2=1 iは単位ベクトルですので大きさは"1"です)
i・j=i・k=j・k=0 (i,j,kは直交しますのでスカラー積は"0"です)

では実際に計算します。
>Ａ＝i+3j
εE・A=ε(3i+2j)・(i+3j)=ε(3i・i+9i・j+2j・i+6j・j)=ε(3+0+0+6)=9ε
慣れればi同士,j同士以外のスカラー積はすべて"0"として計算し残る項だけ計算すればよい。

>A=5k
計算するまでもなくkはi,jに直交しますので"0"になります。