ベキ乗平均とStolarsky meanをまとめる
n個の正の数x[1]、…、x[n]に対して、それぞれp乗したものの和をnで割り、そして1/p乗したものは、
ベキ乗平均 {(x[1]^p＋…＋x[n]^p)/n}^(1/p)
と呼ばれ、実数pに関して単調増加になることが知られています。
n=2のとき、{(x^p+y^p)/2}^(1/p)
という形で、
p→-∞のとき最小値、
p=-1のとき調和平均、
p→0のとき相乗平均、
p=1のとき相加平均、
p→∞のとき最大値です。
また、Stolarsky meanと呼ばれるものがあって、
http://en.wikipedia.org/wiki/Stolarsky_mean
によると、
f^(n)-1(n!・f[x[0],…,x[n]]) for f(x)=x^p
なのですが、同様に実数pに関して単調増加になることが知られています。
2変数のとき、{(x^p-y^p)/p(x-y)}^{1/(p-1)}
という形で、
p→-∞のとき最小値、
p=-1のとき相乗平均、
p→0のとき対数平均、
p=2のとき相加平均、
p→∞のとき最大値です。
2変数のとき、ベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものがあるようで、
E_r,s(x,y)={r(x^s-y^s)/s(x^r-y^r)}^{1/(s-r)}
において、r=1とすると、Stolarsky mean
E_1,s(x,y)={(x^s-y^s)/s(x-y)}^{1/(s-1)}
になり、s=2rとすると、ベキ乗平均
E_r,2r(x,y)={(x^2r-y^2r)/2(x^r-y^r)}^{1/r}={(x^r+y^r)/2}^(1/r)
になります。
ここでn変数のときのベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものはさすがにたいへんなので、
3変数のときのベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものを具体的に知りたく思うのですが。
なお、3変数のときのベキ乗平均は
{(x^p+y^p+z^3)/2}^(1/p)
で、3変数のときのStolarsky meanは僕の計算によると
{ 2x^p/p(p-1)(x-y)(x-z) + 2y^p/p(p-1)(y-z)(y-x) + 2z^p/p(p-1)(z-x)(z-y)} ^ {1/(p-2)}
になりました。
お礼
ありがとうございます。 ｘ>０の件は暗黙の了解だったんですね。 あと、(ｘ3/2)＾２として正だという事は可能ですか？三乗根とかで無理ですか。反例：（[３] √－３）^３。何で実数の変数ｘは累乗根もあるのにｘ＾２の時常に正といえるんですか？ そういえるのは高校数学では何も断りが無い場合虚数を考えないから√内に虚数が入る事はないし、そもそも複素数は大小関係を考えないから、ｘ＾２のｘは全て実数で常に正といえるんですね。
補足
あれ？ (ｘ3/2)＾２として正だという事は可能ですかね？ｘは虚数を取りませんが、反例がありますか？