カタランの予想が証明出来ました。

質問

ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする時、ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｙ＝2、ｘ＝3に限る、即ち3[の2乗]－2[の3乗]＝1しかないとするのが、カタランの予想です。（便宜上ａのｘ乗をａ[のｘ乗]と表します）
ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1を、(1)ａ[のｙ乗]－1＝ｂ[のｘ乗]と変形します。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]を因数分解すると、双方素数の掛算になります。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]の差が1なので、片方は偶数で他方は奇数です。素数の内、偶数は2のみです。因数分解した素数の掛算の中に、2が１つでもあると全体は偶数となります。従って、片方のみ2を必ず含みます。他方は2以外の素数（奇数）の掛算となります。
　ではまず、ａ及びｂが素数の場合を検証します。
ｂ＝2の場合(1)式は
ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｘ乗]となります。
2つの数字を掛けて2の累乗になるのは、双方が2の累乗の時だけです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝2[のｍ乗]、（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｎ乗]、ｍ+ｎ＝ｘです。
ある数に1を足しても、それから1を引いても2の累乗になります。2の累乗の中で差が2なのは、2と4のみです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝2[のｍ乗]＝4、ｍ＝2、ａ[のｙ／2乗]＝4－1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｎ乗]＝2、ｎ＝1、ａ[のｙ／2乗]＝2+1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
ｍ＝2、ｎ＝1なのでｘ＝3です。この場合、解は3[の2乗] －1＝2[の3乗]しかありません。
次にａ＝2の場合(1)式は
(2)2[のｙ乗]－1＝（2[のｙ／2乗]+1）×（2[のｙ／2乗]－1）＝ｂ[のｘ乗] となります。
2つの数字を掛けてｂの累乗になるのは、双方がｂの累乗の時だけです。ある数に1を足しても、それから1を引いてもｂの累乗となります。2以外の素数の累乗の中で差が2なのは、3[の1乗]＝3と3[の0乗]＝1のみです。従ってｂ＝3です。
（2[のｙ／2乗]+1）＝3、2[のｙ／2乗]＝3－1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（2[のｙ／2乗]－1）＝1、2[のｙ／2乗]＝1+1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。(2)は、2[の2乗]－1＝4－1＝3[の1乗]となり、ｘ＝1となります。(2)は、2[の2乗]－1＝3[の1乗]ですが、ｘ＜＞1であるので、この場合解はありません。
次に、ａ及びｂが複数の素数の掛算からなる場合です。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]は、偶数と奇数なので、ａ又はｂどちらか一方にのみ2を含みます。
まず、ｂが2を含む場合(1)式は
ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝（2×ｃ）[のｘ乗] となります。
2つの数字を掛けて（2×ｃ）の累乗になるのは、双方が（2×ｃ）の累乗の時だけです。（2×ｃ）の累乗の中で差が2なのは、ｃ＝1の時で、4と2のみです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝4、ａ[のｙ／2乗]＝4－1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝2、ｙ＝2です。
（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2、ａ[のｙ／2乗]＝2+1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝2、ｙ＝2です。
この場合も、解は3[の2乗] －1＝9－1＝8＝2[の3乗]となります。
　次に、ａが2を含む場合(1)式は
(3)（2×ｄ）[のｙ乗]－1＝（（2×ｄ）[のｙ／2乗]+1）×（（2×ｄ）[のｙ／2乗]－1）＝ｂ[のｘ乗]
2つの数字を掛けてｂの累乗になるのは、双方がｂの累乗の時だけです。ある数に1を足しても、それから1を引いてもｂの累乗となります。2を含まない素数の掛算の累乗の中で差が2なのは、3[の1乗]＝3と3[の0乗]＝1のみです。従ってｂ＝3です。
（（2×ｄ）[のｙ／2乗]+1）＝3、（2×ｄ）[のｙ／2乗]＝3－1＝2＝2[の1乗]、ｄ＝1、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（（2×ｄ）[のｙ／2乗]－1）＝1、（2×ｄ）[のｙ／2乗]＝1+1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。(3)は、2[の2乗]－1＝4－1＝3[の1乗]となり、ｘ＝1となります。(2)は、2[の2乗]－1＝3[の1乗]ですが、ｘ＜＞1であるので、この場合解はありません。
従って、ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｙ＝2、ｘ＝3、即ち3[の2乗]－2[の3乗]＝1に限る。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

「2つの数字を掛けて2の累乗になるのは、双方が2の累乗の時だけ」
となぜいえるのでしょうか?証明できていません
yが奇数のとき、a^{y/2}+1,a^{y/2}-1は整数になりません。
a^{y/2}+1,a^{y/2}-1が整数でないとき
2つの数字を掛けて2の累乗にならないとなぜいえるのでしょうか?証明できていません
(3^{1/2}+1)(3^{1/2}-1)=2

「2つの数字を掛けてbの累乗になるのは、双方がbの累乗の時だけ」
となぜいえるのでしょうか?証明できていません
yが奇数のとき、2^{y/2}+1,2^{y/2}-1は整数になりません。
2^{y/2}+1,2^{y/2}-1が整数でないとき
2つの数字を掛けてbの累乗にならないとなぜいえるのでしょうか?証明できていません
(2^{3/2}+1)(2^{3/2}-1)=7

「2つの数字を掛けて(2×c)の累乗になるのは、双方が(2×c)の累乗の時だけ」
となぜいえるのでしょうか?証明できていません
yが奇数のとき、a^{y/2}+1,a^{y/2}-1は整数になりません。
a^{y/2}+1,a^{y/2}-1が整数でないとき
2つの数字を掛けて(2×c)の累乗にならないとなぜいえるのでしょうか?証明できていません
(3^{3/2}+1)(3^{3/2}-1)=2*13

「2つの数字を掛けてbの累乗になるのは、双方がbの累乗の時だけ」
となぜいえるのでしょうか?証明できていません
yが奇数のとき、(2×d)^{y/2}+1,(2×d)^{y/2}-1は整数になりません。
(2×d)^{y/2}+1,(2×d)^{y/2}-1が整数でないとき
2つの数字を掛けてbの累乗にならないとなぜいえるのでしょうか?証明できていません
[(2*3)^{1/2}+1][(2*3)^{1/2}-1]=5

回答No.2

catbird

390131です。Muturajcpさん的確なご指摘ありがとうございます。再考し、補足させてもらいました。
　まず、ａ[のｙ乗]－1＝2[のｘ乗]　（ａ＝2以外の素数）の時です。
　ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ-1乗]+ ａ[のｙ-2乗]+・・・＋ａ[の2乗]+ａ+1）（ａ-1）＝2[のｘ乗]です。ａとｂは自然数、ｘとｙは2以上の自然数ですので、（ａ[のｙ-1乗]+ ａ[のｙ-2乗]+・・・＋ａ[の2乗]+ａ+1）＝自然数、（ａ-1）＝自然数です。（ａ＝1の場合は、1[のｙ乗]－1＝0ですので満たすｘはありません）。(1)自然数×(2)自然数＝2[の累乗]＝2×2×2×・・・・・・×2ですので、(1)＝2×2×2×・・・・・・×2で表現されます。(2)も同様です。(1)を(2)を因数分解して、少なくとも一方に2以外の素数が含まれていると、(1)×(2)は2の掛算のみでは表現出来ません。ですから、この設問の場合は、ａとｂは自然数なので(1)＝2[の累乗]、(2)＝2[の累乗]です。従って、（ａ-1）＝2[のｎ乗]となり、(3)ａ＝2[のｎ乗]+1です。
　(4)（ａ[のｙ-1乗]+ ａ[のｙ-2乗]+・・・＋ａ[の2乗]+ａ+1）＝2[のｘ-ｎ乗]です。(3)を(4)に代入すると、(5)（2[のｎ乗]+1）[のｙ-1乗]+ （2[のｎ乗]+1）[のｙ-2乗]+・・・（2[のｎ乗]+1）[の乗]+ （2[のｎ乗]+1）+1＝2[のｘ-ｎ乗]となります。(5)は2[のｎ乗]×（　数式の詳しい表現は割愛します　）+1×（ｙ-1）+1＝2[のｘ-ｎ乗]となります。左辺の2[のｎ乗]×（　省略　）は偶数です。従ってｙが奇数であると、1×（ｙ-1）+1＝奇数となり、(5)の左辺は偶数+奇数＝奇数となり、そもそも2[の累乗]にはなれません。従ってｙ＝偶数に限られます。
　ｙ＝偶数なので、(上)ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｘ乗]　の時、ａ[のｙ／2乗]＝(6)自然数となり、（(6)自然数+1）×（(6)自然数-1）＝2[のｘ乗]となります。従って（(6)自然数+1）＝2[の累乗]、（(6)自然数-1）＝2[の累乗]です。（(6)自然数+1）-（(6)自然数-1）＝2です。2の累乗で差が2なのは、4と2のみです。従って、（3+1）×（3-1）＝4×2＝8＝2[の乗]しか解が無いことが分かります。ご指摘の様な、ｙ＝奇数となり、値が平方根となり、自然数でなくなる様な場合は、この予想で設定出来ません。
　ａとｂが素数でない時（＝素数の掛算で表せる時）も同じことです。その場合(上)式は、左辺が、（2×ｃ）[のｘ乗]　と表せます（ｃ＝2以外の素数の掛算）。ｙ＝偶数でないと、左辺が偶数にならないので成立し得ません。(1)と(2)の差が2なので、（2×ｃ）[の累乗]の中で差が2なのは、ｃ＝1の時で4と2のみです。
　例えばｃ＝3（2以外の素数の中で最小）としても、（2×3）[の0乗]　＝1、（2×3）[の1乗]＝6、（2×3）[の2乗]＝36と差は5以上となってしまうからです。同じ数[の累乗]の中で、差が2であるのは、2[の1乗]＝2と2[の2乗]＝4、と3[の0乗]＝1と3[の1乗]＝3の2組のみです。それ以外は差が2になるものはありません。
　差が最小なのは、1[の0乗]＝1と1[の累乗]＝1の0、その次に小さいのが、2[の0乗]＝1と2[の1乗]＝2の1です。その次に小さいのが、差が2の上記の2組です。その次に小さいのは、2[の0乗]＝1と2[の2乗]＝4の3です。その次に小さいのは5[の0乗]＝1と5[の1乗]＝5の4となります。それ以外の数では差は5以上となります。カタランの予想は、ａ[のｙ乗]－1＝ｂ[のｘ乗]を（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝ｂ[のｘ乗]と変形することで、要件を満たすのは同じ数[の累乗]の中で、差が2である組に限られることが分かります（2つの数字を掛けてｂ[の累乗]になるには、2つの数字が共にｂ[の累乗]でなければなりません）。従って要件を満たすのは上記2組に限られます。3[の0乗]＝1と3[の1乗]＝3の組の場合、答えが2[の2乗]－1＝3[の1乗]となります。しかし、ｘは2以上なので要件を満たしません。従って、要件を満たす解は、2[の1乗]＝2と2[の2乗]＝4の時で、3[の2乗]－1＝2[の3乗]のみであることが分かります。
　次は、2[のｙ乗]－1＝ｂ[のｘ乗]　（ｂ＝2以外の素数）の時です。
2[のｙ乗]－1＝(7)（2[のｙ-1乗]+ 2[のｙ-2乗]+・・・+2[の2乗]+1）です（2[の累乗]の場合、1から順に足していくと、次の累乗の値-1となります）。
　(7)式は、ｙの値によって、（2[の1乗]+1）×（2[のｙ-2乗]+ 2[のｙ-4乗]+ ・・・+2[の4乗] +2[の2乗]+ 1）とか、（2[の2乗]+2[の1乗]+1）×（2[のｙ-3乗]+ 2[のｙ-6乗]+ ・・・+2[の6乗] +2[の3乗]+ 1）と言う様に、(8)2[のｐ乗]+ 2[のｐ-1乗]+・・・+2[の2乗]+1で括れます。括られた方は、(9)1+2[のｐ+1乗]+2[の2（ｐ+1）乗]+ 2[の3（ｐ+1）乗]+・・・+2[のｓ（ｐ+1）乗]となります。
(8)式[の累乗]＝(9)式とはなりません。従って、(8)式×(9)式＝(7)式ですので、(7)式を累乗の形で表すことは出来ません。この場合、解はありません。2の累乗-1を因数分解すると、上記理由により、素数が2回に一度、3回に一度、4回に一度・・・と言う様に周期的に現れ、上記理由により、その素数を累乗しても、元の（2の累乗-1）にはなりません。従って（2の累乗-1）は2以外の数の累乗では表現出来ません。