微分と積分の関係

質問

微分と積分の関係を説明するときに、定積分を使うのはなぜですか？
すなわち、
f(t)の原始関数の一つをF(t)として、
(d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}＝F'(x)＝f(x)
 (∫[a,x]は、下端がaで、上端がxです。）
のように定積分を使って、微分と積分の関係を説明するのはなぜですか？

不定積分を使うのはだめなのでしょうか？
すなわち、
f(x)の原始関数の一つをF(x)として、
(d/dx)∫f(x)dx=(d/dx){F(x)+C}=F'(x)=f(x)
というふうにして、微分と積分が逆演算であることを説明するのはだめなのでしょうか？

個人的には、f(t)が出てきてよく分からなくなってしまう定積分の説明よりも、後者の説明の方がいいと思うのですが、どうなのでしょうか？

とても困っています。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

実は「∫[a,x] f(t)dt」が不定積分の正確な表記なのです。しかし、いちいちそう書くのは面倒でもあり、∫ f(x)dxと書いてもいいのです（数学者のライプニッツが始めた記法）。

　微分と積分の関係性の厳密な説明、定義ですから、できるだけ正確な表記となっているのでしょう。しかし、お考えのように「∫ f(x)dx」で理解して差し支えありません。何かの証明を書くときにだけ「「∫[a,x] f(t)dt」」を使っておくといいでしょう。

P.S.

　不定積分を「∫[a,x] f(t)dt」と書くことから分かると思いますが、定積分が先にあって、それに沿って不定積分があります。歴史的にも面積を求めるために発達し、微積分学でも定積分を定義して、それを元に不定積分を定義することが多いようです（それぞれを独立に、あるいは不定積分を先に定義する流派もあるかもしれないが、私はよく知らないです、すみません）。

お礼

不定積分の正確な表記だなんて全く知りませんでした！

詳しくご回答ありがとうございました。

回答No.5

titeiking2014

不定積分でいいと思います。
歴史的な経緯はあるにせよ、不定積分でも意味は通じるし、説明としてわかりやすければいいでしょう。
ただし、不定積分は簡易的な表現のため、証明などで使用する場合は気をつけましょう。

お礼

なるほど、不定積分は簡易的な表現なのですね。

分かりました
回答ありがとうございました

回答No.4

uyama33

どちらも、不思議な証明に見えます。

(d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}＝F'(x)＝f(x)

では、

∫[a,x] f(t)dt={F(x)-F(a)}

が使われていますが、これはすぐには使えない。

f(x) が連続とする、
(d/dx)∫[a,x] f(t)dt
= lim [h→0] {∫[a,x+h] f(t)dt - ∫[a,x] f(t)dt}/h

{∫[a,x+h] f(t)dt - ∫[a,x] f(t)dt}/h
={∫[x,x+h] f(t)dt}/h
の値は、

m = min f(y), M= maxf(y) (x<= y <=x+h)
としたとき、
m　と　M　の間に入る。

ｈ→0　のときに、ｍ　も　M　もf(x) に近づく。

よって、(d/dx)∫[a,x] f(t)dt＝f(x)

よって、f(x) が連続ならば微分して　f(x) になるような関数が存在する、
これが、∫[a,x] f(t)dt　である。

と言うように話を進めないと、何を仮定して何を証明するのかが分からなくなる。
その記号で書かれるものが存在するか否かは簡単には示せない。

たとえば、 ∫f(t)dt　不定積分（微分してf(x)になるもの）
ですが、無理数では１、有理数では０の値をとる関数f(x) の不定積分は何か？

ここでは、f(x)　の連続性を中心に学習する所だと思います。

お礼

すみません、私は今数IIを勉強していまして、その途中で出てきた公式だったので連続関数等はよく分からないのですが...

数IIIまで学習が進んでから改めて貴方のご回答を読ませていただこうと思います。

回答ありがとうございました

回答No.3

Tacosan

後者を使うときの最大の問題点は
「原始関数」ってなんだ
というところにあります.

ちなみに歴史的にいうと定積分と不定積分は完全に別々に発達しています. つまり「面積 (など) を求める定積分」と「微分の逆演算としての不定積分」とはもともと無関係でした.

お礼

なるほど、そこが問題なのですね！

回答ありがとうございました

回答No.1

mmmommo

後者でいいのでは・・・
前者のほうが図で説明しやすいのかな？