最大値・最小値の確率

質問

解説を読んでも分からない為、質問することにしました。

[問]
箱の中に、1から10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードが入っている。
この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれた数字を記録して箱の中に戻す。
この操作を5回繰り返すとき、記録された数字について、次の確率を求めよ。

(1)全て6以上である確率
(2)最小値が6である確率
(3)最大値が6である確率
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(1)は分かりました。
5C5*{(5/10)^5}*(5/10)^0 = 1/32

(2)と(3)が分からず、解説を読んだのですが、それでも分かりません。
(2)の解説はこのように書いてあります。
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最小値が6であるという事象は、すべて6以上であるという事象から、すべて7以上であ
るという事象を除いたものと考えられる
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なぜこのように考えることが出来るのですか。

この解説の通りに式を立てると
(すべて6以上であるという事象) - (すべて7以上であるという事象)
ということになるのですが、解説にある「すべて7以上である事象」というのは
「すべて7以上であるという事象」
「すべて8以上であるという事象」
「すべて9以上であるという事象」
「すべて10以上であるという事象」
この四つを別々に考えるのではないのですか。
「すべて7以上である事象」について考えるだけで、この四つの事象について考えることと
同じになるというのが理解できません。

※(3)は(2)を逆に考えれば良いようなので、今回は(2)の解説ついての説明をお願いしたいです。

回答No.1

mshr1962 · ベストアンサー

単純に同心円の確立だからでしょう。

「すべて10であるという事象」は「すべて9以上であるという事象」に含まれます。
=「すべて9」+「9と10」+『すべて10』

「すべて9以上であるという事象」は「すべて8以上であるという事象」に含まれます。
=「すべて8」+「8と9」+「8と10」+「8と9と10」+『すべて9以上』

「すべて8以上であるという事象」は「すべて7以上であるという事象」に含まれます。
=「すべて7」+「7と8」+「7と9」+「7と10」+…+「7と8と9と10」+『すべて8以上』

「すべて7以上であるという事象」は「すべて6以上であるという事象」に含まれます。
=「すべて6」+「6と7」+「6と8」+「6と9」+「6と10」+…+「6と7と8と9と10」+『すべて7以上』

ここで、最小値が６ですから、最低一つは６である必要があります。
だから「すべて6以上であるという事象」から「すべて7以上であるという事象」の場合を除くだけで
答えが出ます。

お礼

とても良く分かりました。
ありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

＞この問題で「すべて7以上であるという事象」とは、
「記録された5数字のいずれもが7,8,9,10のいずれかで
ある事象の全体」のことであり、それらの事象の中には
7を含まない例えば「すべて8以上であるという事象」も
も含まれている。

回答No.3

chie65535

＞「すべて7以上であるという事象」
＞「すべて8以上であるという事象」
＞「すべて9以上であるという事象」
＞「すべて10以上であるという事象」

「すべて１０以上」の時は、必ず「すべて９以上」です。

なので「すべて９以上の確率」を考えた場合、「すべて１０以上の確率」は考えなくて良いのです。

「すべて９以上」の時は、必ず「すべて８以上」です。

なので「すべて８以上の確率」を考えた場合、「すべて９以上の確率」や「すべて１０以上の確率」は考えなくて良いのです。

「すべて８以上」の時は、必ず「すべて７以上」です。

なので「すべて７以上の確率」を考えた場合、「すべて８以上の確率」や「すべて９以上の確率」や「すべて１０以上の確率」は考えなくて良いのです。

言い換えれば「すべて７以上である時、すべて８以上である必要はない」のです。

更に言い換えるなら「すべて７以上である事象を考える時、すべて８以上、すべて９以上、すべて１０以上である事象は考慮する必要がない」のです。

＞この四つを別々に考えるのではないのですか。

では、貴方に問います。「別々に考えねばならない理由」は何ですか？

「単にそう思っただけ」は答えにはなりませんよ。論理的,、数学的に「こうこうこういう理由で、別々に考える必要がある」と説明できますか？

説明できないなら「別々に考える必要も理由もない」と言う結論になっちゃいますよ？

回答No.2

noname#215361

ベン図を作成すれば一目瞭然で、次の関係が成り立ちます。

「すべて6以上であるという事象」
⊃「すべて7以上であるという事象」
⊃「すべて8以上であるという事象」
⊃「すべて9以上であるという事象」
⊃「すべて10以上であるという事象」