破産の確率 計算式

質問

破産の確率
www.geocities.jp/y_infty/management/bankruptcy.html

www.geocities.jp/y_infty/management/soft_dl.html

上記、下段サイトの最後に定率で考えた場合のアイコンがあります。
これはエクセルでは、どのような数式になるのかわかるかたがいれば教えてください。
全然わかりません。
数学に詳しい方、よろしくお願いします。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

> (1)r=a/bは、R＝平均利益/平均損失（リスクリワード比）の値で統一してもよいものでしょうか。（定率において）

計算式を見れば分かるはずですが、R と新しく置いた r は違う値です。定率の問題を定額の問題に読み替える事ができて、R は (定率の問題における利益/損失) で、r は (読み替えた後の定額の問題における利益/損失) です。

> (2)説明でS1＝０、画像でS0=0になっていますが、これは最初が０なら特別意味はないことでしょうか。

すみません。説明文と画像で変数名の付け方が少し違っていました。しかし、特別な意味はありません。こちらで勝手に導入した変数名に過ぎませんからね。なので、S0, S1, S2, …でもよいし S1, S2, S3, S4, …でも良いし、あるいは A1, B2, A3, B4, …とか何でも良いです。

あと、これはニュートン法の詳細になりますが、最初の項も実は 0 である必要はありません。今回の場合は 0≦S0≦1 ならば何でも良いでしょう。どれを選んだ場合でも最終的に数列は同じ値へと向かっていきます。

> (3)十分大きいところの値をSにすればというのは、ある程度計算してみて同じ値が並ぶようになったところあたりでもよいでしょうか。それとも最低でもS１０まではとかあるのでしょうか。

まさに "ある程度計算してみて同じ値が並ぶようになったところ" で良いです。具体的には、
1. 始めに「自分が知りたい精度(何桁分の情報が欲しいか)」を決めておいて、
2. 数列を作って、1. で決めた桁数が変わらなくなったらそこで計算を終える
とするのが普通です。例えば、今回の場合で知りたい精度が3桁とすると、画像を御覧になれば分かる様に既に S6 で有効数字3桁部分が変わらなくなっているので S6 を S として採用します(多少保険をかけるならば S7)。

最低でも幾つ、などの基準はありません。

> (4)教えていただいた計算式の結果は、記載したサイトのフリーソフト（定率の場合）と同じ値になるのでしょうか。

画像の計算例ではフリーソフトの計算例と同じものを計算しているのですが、比較されましたか。同じ値になっています。
フリーソフトの画像: 0.433% ＜破産確率≦ 0.504% ( http://www.geocities.jp/y_infty/management/soft_dl.html )
Excel画像: 下限 0.432915169、上限 0.503713012 (小数点第4位で四捨五入すれば上と一致する)

お礼

検証しましたら、サイトのものと全く同じ値です。
本当に助かりました。ありがとうございます。

回答No.1

akinomyoga

(1) 概要
一つ目の URL にある通り、

> 結局、この問題は 「資金が n 円、勝つと a 円儲け、負けると b 円失うときの破産の確率は？」 と同じです。

という事ですから、書いてある通りに考えれば、以下の様になります。

P = 勝率(%)/100
R = 利益/損益
k = 賭け率(%)/100
A0 = 資金
B = 破産基準

a = LOG(1+R*K)
b = ABS(LOG(1-k))
n = LOG(A0/B)
r = a/b (これは定額賭けの問題と読み替えた時の R)

S = "★P*POWER(S,r+1)-S+1-P = 0 の解∈[0,1]★"

結果:
破産確率下限(%) = POWER(S,n/b+1)*100
破産確率最大(%) = POWER(S,n/b)*100

(2) ★の部分について
問題は、★～★の部分です。EXCEL に直接その様な機能は備わっていないので、自分でそれを解く為の式を作る必要があります。例えば、EXCEL でやるならばニュートン法を用いるのが良いでしょう。先ず、
　f(S) = P*POWER(S,r+1)-S+1-P
とすれば、ニュートン法の改良ステップは、
　S' = S - f(S)/f'(S)
　　　= (式変形中略)
　　　= (P*(r*POWER(S,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S,r)-1)
となります。従って、EXCEL でやるならば

S1 = 0
S2 = (P*(r*POWER(S1,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S1,r)-1)
S3 = (P*(r*POWER(S2,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S2,r)-1)
S4 = (P*(r*POWER(S3,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S3,r)-1)
S5 = (P*(r*POWER(S4,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S4,r)-1)
S6 = (P*(r*POWER(S5,r+1)+1)-1)/(P*(r+1)*POWER(S5,r)-1)
S7 = …

と言った具合に数列を作って(EXCEL なのでドラッグすれば簡単に式を複製できます)、充分大きい番号の所の値を S にすれば良いです。例えば S = S10 など。

ニュートン法の詳細について知りたければ、以下を御覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95

お礼

ありがとうございます。こんな数式がすぐに分かる頭が羨ましいです。理解するためにしばらくＥｘｃｅｌの数式と資金、勝率などの言葉を置き換えて見させてもらいます。ほとんどの方が回答しないなか、パパッと回答がでるのが羨ましいです。

補足

akinomyogaさんへ
(1)r=a/bは、R＝平均利益/平均損失（リスクリワード比）の値で統一してもよいものでしょうか。（定率において）
(2)説明でS1＝０、画像でS0=0になっていますが、これは最初が０なら特別意味はないことでしょうか。
(3)十分大きいところの値をSにすればというのは、ある程度計算してみて同じ値が並ぶようになったところあたりでもよいでしょうか。それとも最低でもS１０まではとかあるのでしょうか。
(4)教えていただいた計算式の結果は、記載したサイトのフリーソフト（定率の場合）と同じ値になるのでしょうか。

理解力が低いため、すいません教えてください。
この確率は、具体的にはウィリアム・フェラーの『確率論とその応用』が源になっているようです。