3つの2次曲面の交点

質問

以下の式は，2次曲面の一般形だと思います．

f(x,y,z)
=a11*x^2+a22*y^2+a33*z^2+2*a23*y*z+2*a31*z*x+2*a12*x*y+2*a14*x+2+a24*y+2*a34*z+a44=0

このような式を満たす3つの2字曲面があるとき，その交点を求めるには，連立方程式を解くしかないのでしょうか？

他に簡便に交点を求める方法をご存知であれば，お教えください．
よろしくお願い致します．

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>2次曲面の一般形だと思います．

>f(x,y,z)
=a11*x^2+a22*y^2+a33*z^2+2*a23*y*z+2*a31*z*x+2*a12*x*y+2*a14*x+2+a24*y+2*a34*z+a44=0

一般形には違いないですが2次曲面となりえない場合を含んでいます。

2次曲面が存在しない、つまりf(x,y,z)=0を満たす実数の組(x,y,z)が存在しない
場合を含んでいるということです。
例
　x^2+y^2+z^2+1=0,
　(x+y-z)^2+x^2+4=0

x,y,zについての３つの2次方程式に、１つでも2次曲面の式の条件を満たさない場合には、共通の交点（共有点）は存在しません。
なので係数aijについて、x,y,zについての実数条件を付加しないと、2次曲面の一般形とは言えません。
（各１つの実数の変数について２次方程式の判別式≧0を満たす必要があります。）

また、3つの2次曲面が存在したとしても、３つの2次曲面のうち２つが交わっていない場合や３つの2次曲面が互いに交わっている場合でも、3つの2次曲面の共通の交点が存在しない場合があります。

例(3つの2次曲線とも互いに交わらない場合)
　x^2+(y+1)^2+(z-3)^2=1, x^2+(y-2)^2+z^2=1, z^2=1+x^2+y^2

例（3つの2次曲面のうち2つが互いに交わっているが３つの共有点が存在しない場合）
　　x^2+(y+1)^2+(z-3)^2=1, x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4, z^2=1+x^2+y^2

したがって、
>このような式を満たす3つの2字曲面があるとき，その交点を求めるには，連立方程式を解くしかないのでしょうか？

独立な異なる2次連立方程式f１(x,y,z)=0, f2(x,y,z)=0, f3(x,y,z)=0が2次曲面である場合について、3つの2次曲面が共有点をもつような係数条件が付加されている場合に限って、(x,y,z)についての連立方程式を解けば、共有点を求めることができるでしょう。
3変数の2次の連立方程式は変数を消去すると残った1変数の方程式は次数が上がりますので、５次以上の方程式になると一般的には解析的に解くことはできません。共有点が存在し具体的な係数が数値で与えられている場合には、数値計算により近似解を求めることは可能です。また２次曲面の方程式が特別な形をしている場合には連立方程式が解ける場合があります。でもこれは特殊なケースで、一般論では、係数条件が与えられても、文字係数のままでの連立方程式はまず解けないでしょう。

まして、係数条件が何も与えられていない文字係数の連立方程式では、解の不存在（共有点の不存在）の場合や２次曲面を表さない３元２次方程式も含んだままで、一般的に解こうとすること自体、無理があります。

お礼

分かりやすいご回答をありがとうございました．
教えて頂いた内容を参考に，もっと勉強致します．

回答No.1

ask-it-aurora

連立方程式を解くためにグレブナー基底を計算してみるのはひとつの手だと思います．これが「簡便」かどうかは感じ方に依るのでしょうが．

あと線型代数の応用としてよくやる話ですが二次曲面の標準化は知ってますか？これで座標変換をすれば少なくともひとつは標準形に帰着させられます．具体的な値によっては同時標準化が可能かも．

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/グレブナー基底#.E8.A8.88.E7.AE.97.E4.BE.8B