数学の問題

質問

＜準備＞
・クラス：３２人
・用紙：３２のマス目がり、それぞれのマス目に１つずつ番号が書いてある
・番号は１～３２（重複しない）
・クラス全員に１枚ずつ配る
・用紙を配られると、自分の出席番号に○を書く。

＜ゲームスタート＞

・１回目
　(1)誰かとペアになる。
　(2)ペアとなった相手の出席番号が５ならば、
　　自分の用紙の５に○を書く。
⇒現在、クラス全員が自分の用紙に○は２つ。

・２回目
　(1)１回目とは違う相手とペアになる。
　(2)ペアとなった相手の用紙の７，３０に○があれば、
　　自分の用紙の７、３０に○を書く。
⇒現在、クラス全員が自分の用紙に○は４つ。

・３回目
　(1)誰かとペアになる。
　◆ルール（初めからの基本ルール）
　　現在、お互いの用紙には４つの○がある。
　　１つでも同じ番号に○があれば、その相手とはペアになることはできない。
　　よって、他の相手を探さなければならない。
　(2)ペアとなった相手の用紙の○を、全て自分の用紙に転記する。
⇒現在、○の数は８つ。

・４回目
⇒ペアが見つかれば、○の数は１６個。
◆このあたりでペアが見つからない脱落者が現れる。

・５回目
⇒ペアが見つかれば、○の数は３２個。
◆ゲームクリア☆

【質問】
このゲームは、誰一人クリアできない場合などありますか？
また、それはどのような場合でしょうか？

例）
・途中段階での脱落者数と、5回目でペアが見つからない人数は等しい。
・４０人で行った場合、途中の脱落者が８人までなら、全員がクリアできる可能性がある。
などなど、何か法則のようなものはありますか？

四色問題などが好きな方や数学者の方などには、
数学的にはかなり面白い問題だと思うのですが・・・

P.S.これは、対数の導入の際に行うゲームを想定しています。
ゲーム終了後、「日本国民全員でこのゲームをすると、理論上何回できますか？」
と、問います。
また、対数の導入の意味の他に「これは人類に対する壮大な証明にもなっています。」
といって、どのような証明になっているのかを紹介します。

中学生に対しては
5月頃に行い、クラスの生徒同士が話をするきっかけ作りの教材。

◆電子出席簿：eRB「an electronic roll book 」
著作権フリーなので、ご自由にお使い下さい。
http://ameblo.jp/ict-teacher/entry-11908831814.html

◆自己紹介
http://astamuse.com/ja/published/JP/No/2005303182

。

回答No.1

nag0720

３回目までで、
出席番号1～8の用紙に、1～8に○が付き、
出席番号9～16の用紙に、9～16に○が付き、
出席番号17～24の用紙に、17～24に○が付き、
出席番号25～32の用紙に、25～32に○が付いたとする。

４回目で、
1-9、2-10、3-11、4-12、5-17、6-18、7-19、8-20、13-21、14-22、15-23、16-24とペアになった場合、
25～32は残りのだれともペアになれないから脱落する。

５回目は、
どのペアもできないから全員脱落。

ということでいいのかな？

それとも、４回目で25～32がペアになれないとき、他のペアを解散させてでもペアにするべきなの？

補足

ご回答、まことにありがとうございます。
すいません、
質問の仕方がとんでもなく悪かったです(>_<)

例）
・途中段階での脱落者数と、5回目でペアが見つからない人数は等しい。
・４０人で行った場合、途中の脱落者が８人までなら、全員がクリアできる可能性がある。
などなど、何か法則のようなものはありますか？

ここまでが質問でした。