Y = (a + x ) / (b + cx）

質問

Y = (a + x ) / (b + cx ) 　　　 →　（a = -2 b = 1 c = 1/2 )

このグラフを参考にして、
「じゃあ、この式を描いてみよ」　・・・という問題が出ました。

y = | (b + cx ) / (a + x ) |

【添付写真の、下のグラフが、　この問題の解答です】

絶対値については、理解出来ました。
ですが、「なぜ　分子と分母がひっくり返る（逆数）と、　グラフがx軸について対称になるのか」・・・を理解することができません。

まるごと覚えてしまっても良いのですが・・・。できれば納得したいです。
これは、なぜこのようなことが起こるのでしょうか？

回答No.4

think2nd · ベストアンサー

No.3です。　今回の問題に応用する部分について、もう少し考えてみます。という返事が、心配になり、かつ回答がちょっと舌足らずだったのかなと思い、確認のため、また回答します。

確認1
　　Y=(a+x)/(b+cx)・・・(1)　の逆数関数は
　　y=(b+cx)/(a+x)・・・(2)ですよ。
　(1)のグラフを書くため右辺を割り算してy=k/(cx+b)+d となるkとdを見つけてグラフを書きます。このことで漸近線がわかります。(またx→∞とx→-∞のときの極限値がy=dになります。)
確認2
　　(1)のグラフが書ければ、もうすぐに　No3で、提示した　3つの性質を利用して、逆数関数のグラフが
　書けます。

と回答したのです。

PS.　(以下細かいことをグダグダに書いていますから、読まなくていいと思います。疑問に思ったとき読んでください。)

ただし漸近線があるので後半を付け加えたのです。(1)のx軸に水平な漸近線はy=dですから、逆数関数の漸近線はy=1/dになることを納得いただけるかなと、期待してしまいました。(正確には、逆数関数のx→∞とx→-∞を取れば漸近線を持つか持たないかはわかります。)
また、
たとえばy=cx+bの定義域はすべての実数だけれど、この逆数関数y=1/(cx+b)を作った途端、定義域がx=-b/cを除くすべての実数に変わるから、だからx=-b/cが漸近線になることを納得頂けるかと考えた次第です。(元の関数においてY=0とするxの値は、逆数関数においてはyが1/0になってしまいますからその値を±∞にしているのですが、＋∞か－∞かはy=0とするxの値に右極限か左極限を取ることでyの値がどちらか分かります。)

覚えようとしたのでは自分の血や肉にはなりませんが、納得して感動するともう自分がゲットした道具になりすから、それからは好きなように、その道具が使えます。

お礼

お礼が遅れました。

ご親切な補足までいただき、本当にどうもありがとうございました。

今、おかげさまでほぼわかりかけています。

いただいたアドバイスを何度か読み返して、この問題を完璧にできるようにします。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.3

think2nd

あなたには、数学のセンスがありますよ。最適の質問をしています。これから説明するポイントは2つあって、後半の話は極限の話になるから、高校3年生でないと、あなたは誤魔化されたと思うかもしれない。
前半は簡単なことです。
　あなたが使っている分子と分母がひっくり返る（逆数）この関数をあなたに合わせて逆数関数と呼びます。(逆関数ではありません。私的用語ですから使ってはいけません。)
　この逆数関数と元の関数との性質を、あなたが理解すればY=1/(x^2-1)のグラフなど微分せずとも簡単に書けます。
　前半
　y=x ・・(1) の逆数関数はなんですか。

　y=1/x・・(2)ですよね。
逆に(2)の逆数関数はなんですか。
(1)ですよね。この2つのグラフを書いて、グラフから、面白い性質を3つ発見してください。

　性質1　どちらのグラフも、第一、第三象限にある。(お互いxが動いてもyの符号は同じだからでしょうね)
　　　つまりお互い、自分のいる象限を外れることがない。　
　性質2　一方のグラフが増加すると逆数関数のグラフは減少する。
　　　　　一方のグラフが減少すれば、逆関数は増加している。
　　　　　つまり右上がりのグラフなら、逆数関数は右下がりのグラフになります。
　性質3　一方のグラフがx軸を横切るとその点が逆関数では漸近線になってしまう。
　　　　逆にx軸を通る漸近線があると、逆数関数はx軸とその点で横切る。
　　　　(実はグラフが存在する象限によっては、逆数関数はその点がx軸との共有点(接点)になる。)

このことをゲットするとグラフがイメージできます。
　　後半
　　　たとえば(1)のグラフを書いてください。グラフ上のxの値を左から右になぞっていきます。yの値は負の無限大から始まって第3象限内でだんだん増加して原点に向かいますから、ここまでは、逆数関数も第3象限に存在して、yの値は(1)の逆ですからx軸を漸近線にして、だんだん減少していきます。
そして(1)のグラフはx=0でx軸を横切りますから逆数関数はX=0が漸近線になります。ここまでは逆数関数は下に向かって(右下がりに)y軸に限りなく近づきます。(y軸を横切りません。)
第一象限に入ると(1)のyはほとんど0の値から始まり、だんだん右肩上がりに大きくなりますから、逆数関数は第一象限に現れ、yの値は無限大からだんだん小さな値になっていきます。

　このルーチン(アルゴリズム)でグラフを書くことができます。怪しくなったら、そのあたりの特定のxの数を選んで、逆数関数に代入して、yの値を求めて確認できます。
　このことでy = (b + cx ) / (a + x )のグラフができていることを実感してください。
　　絶対値が付いていますから、yの値が負になっているグラフをｘ軸に線対称に移してください。だからX=-2のところではすこしグラフが鋭角になっていると思いすよ。
宿題
　　・なぜｙ軸を横切る横の漸近線は、逆数関数においても漸近線のままなんでしょうね。
　・なぜ曲線になるんでしょうね。(整数だけの世界を考えていても逆数にされると有理数の世界を考えざるを得ないこと関連がありそうですね。)

お礼

とても詳しい解説を、ありがとうございます。

後半の途中まで、理解できました。

それを、今回の問題に応用する部分については、これからもう少し考えてみます。

とても助かりました。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.2

noname#199771

＞グラフがx軸について対称

y軸ですよね。

疑問についての直接的な回答は
#1の通り。

出題者がなぜこの問題を思いつい
たのかというと、

一次分数変換
f(z)=(z-i)/(z+i)
※zは複素数、iは虚数単位

が実軸に関する反転を単位円に
関する反転に移すということを知っ
ていたからかも。

実数xに対してf(ix/2)を計算して
みてください。

ちなみに「反転」というのは数学的
に定義されてますが説明はしないの
で興味があったら調べてみてください。

お礼

一次分数変換　についても調べたのですが、今の私にはさっぱり理解できませんでした。
教えていただいたことを理解できるように励みます。
ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

akinomyoga

>ですが、「なぜ　分子と分母がひっくり返る（逆数）と、　グラフがx軸について対称になるのか」・・・

質問の内容がよく分からないのですが、y = |(b+cx)/(a+x)| のグラフが y = |(a+x)/(b+cx)| のグラフの左右を反転させた物と同じ形をしている理由についての質問でしょうか?

(その様な質問でしたら) それは「たまたま a=-2, b=1, c=1/2 だから」です。a, b, c が別の値の場合には、分子・分母を反転させても、グラフはxについて反転させた形にはなりません。

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実際に、a=-2, b=1, c=1/2 を代入してみると、元の方程式は、

y = (-2+x)/(1+(1/2)x)
　= 2×(x-2)/(x+2)

になります。分子・分母を反転させると、

y = (x+2)/(2×(x-2))

になります。更に、xについて反転 (x → -x) とすると、

y = (-x+2)/(2×(-x-2))
　= (-1/2)×(x-2)/(x+2)

となり、全体の係数 2 が -1/2 に変わった事を除けば (x-2)/(x+2) の部分は初めの式と同じ形になっています。そしてこれは a, b, c の値が偶々そんな値だったからであって、深い意味はありません。
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お礼

なるほど。
何かの意味を求めてしまったのですが、偶然だったのですね。

ご回答、どうもありがとうございました！