高校数学Bの等比数列の問題で、

質問

「ある年初めに100万円借りて、その年から年末にｘ円ずつ返して10年で完済する。
年利率6％、1年複利としてｘの値を円未満を切り上げて求めよ。ただし （1.06)¹⁰＝1.79 」
この問題が分かりません。詳しい解説つきで、よろしくお願いいたします。

回答No.2

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

各年末に返済する金額Xの元金を考えます。

1年目の返済額Xの元金は、X/1.06 です。
2年目の返済額Xの元金は、X/1.06^2 です。
同様にしていくと、最後の10年目の返済額Xの元金は、X/1.06^10 となります。

元金の合計が1,000,000円ですから、次の式が成り立ちます。
1,000,000 = X/1.06 + X/1.06^2 + ... + X/1.06^10

これは、初項 X/1.06、公比 1/1.06 の等比数列です。よって、
1,000,000 = X/1.06 * (1-1/1.06^10) / (1-1/1.06)

後は、問題文の指示通りに、1.06^10=1.79 を用いて計算し、Xを求めます。

お礼

お返事が遅くなってすみません。
分かりやすい回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.1

akinomyoga

a_i を「i 年経過した時の残り返済金額」とすると、
初項 a_0 = 100万円,
漸化式 a_{n+1} = 1.06 a_n - x (＝前年の金額 a_n に利子 0.06 a_n を上乗せして、x だけ返済する),
10年後に完済する事から a_10 = 0.

上を x について解けば良い。

漸化式より、
a_{n+1} - x/0.06 = 1.06 ( a_n - x/0.06),
a_n - x/0.06 = 1.06^n ( a_0 - x/0.06),
a_10 - x/0.06 = 1.06^10 (a_0-x/0.06).
次に x について解く。
(1.06^10 -1) x/0.06 = 1.06^10 a_0
x
= 0.06×(1.06^10/(1.06^10-1)) a_0
= 0.06×(1.79/0.79)×100万円

お礼

お返事が遅くなってすみません。
漸化式はこれから習うところで、こういう解き方もあるんだなと、勉強になりました。ありがとうございました。