2つの極限値が等しくなるのがどうしても示せません!

質問

a_i,b_i,c_i,rは正実数とします。i=1,2,…,n

lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(a_i+hb_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}(a_i+hb_i)^r]/h
=lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(a_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}a_i^r]/h

という等式が成り立つ事を証明するにはどうすればいいのでしょうか?

上段の式はh→0に連れて,下段の式の形に近づいて行くのでやがては等しくなるだろうと感じましたが。

回答No.2

muturajcp

{a_i>0,b_i>0,c_i>0,r>0}_{i=1～n}
とする
x^rの微分は
(x^r)'=lim_{h→0}{(x+h)^r-x^r}/h=rx^{r-1}
だから
平均値の定理から
k=1～nに対して
a_k+hb_k+hc_k>0
となるようなh≠0に対して
0<|t_h|<|hc_k|=|h|c_k
{(a_k+hb_k+hc_k)^r-(a_k+hb_k)^r}/(hc_k)=r(a_k+hb_k+t_h)^{r-1}
となるt_hが存在し
lim_{h→0}t_h=0
だから
lim_{h→0}{(a_k+hb_k+hc_k)^r-(a_k+hb_k)^r}/(hc_k)=r(a_k)^{r-1}

(右)
=
lim_{h→0}[Π_{i=1～n}(a_i+hc_i)^r-Π_{i=1～n}(a_i)^r]/h
=
lim_{h→0}
Σ_{k=1～n}[
{Π_{i=1～k-1}(a_i)^r}{Π_{i=k～n}(a_i+hc_i)^r}
-{Π_{i=1～k}(a_i)^r}{Π_{i=k+1～n}(a_i+hc_i)^r}
]/h
=
lim_{h→0}
Σ_{k=1～n}[
{Π_{i=1～k-1}(a_i)^r}{Π_{i=k+1～n}(a_i+hc_i)^r}
(c_k){(a_k+hc_k)^r-(a_k)^r}/(hc_k)
↓
↓lim_{h→0}{(a_k+hc_k)^r-(a_k)^r}/(hc_k)=r(a_k)^{r-1}
↓だから
(右)=rΣ_{k=1～n}(c_k){Π_{i=1～n}(a_i)^r}/a_k

(左)
=
lim_{h→0}[Π_{i=1～n}(a_i+hb_i+hc_i)^r-Π_{i=1～n}(a_i+hb_i)^r]/h
=
lim_{h→0}
Σ_{k=1～n}[
{Π_{i=1～k-1}(a_i+hb_i)^r}{Π_{i=k～n}(a_i+hb_i+hc_i)^r}
-{Π_{i=1～k}(a_i+hb_i)^r}{Π_{i=k+1～n}(a_i+hb_i+hc_i)^r}
]/h
=
lim_{h→0}
Σ_{k=1～n}[
{Π_{i=1～k-1}(a_i+hb_i)^r}{Π_{i=k+1～n}(a_i+hb_i+hc_i)^r}
(c_k){(a_k+hb_k+hc_k)^r-(a_k+hb_k)^r}/(hc_k)]
↓
↓lim_{h→0}{(a_k+hb_k+hc_k)^r-(a_k+hb_k)^r}/(hc_k)=r(a_k)^{r-1}
↓だから
(左)=rΣ_{k=1～n}(c_k){Π_{i=1～n}(a_i)^r}/a_k

∴
(左)=(右)=rΣ_{k=1～n}(c_k){Π_{i=1～n}(a_i)^r}/a_k

回答No.1

spring135

ごく直感的には

p_i=a_i+hb_i　(1)

とおくと元の式は

lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(p_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}(p_i)^r]/h
=lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(a_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}a_i^r]/h

よって

lim_{h→0}p_i=lim_{h→0}a_i

が示せればよい。これは(1)より明らか。

補足

有難うございます。

> lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(p_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}(p_i)^r]/h
> =lim_{h→0}[Π_{i=1..n}(a_i+hc_i)^r-Π_{i=1..n}a_i^r]/h

これはどうしてですか?
a_iは定数ですがp_i(=a_i+hb_i)は定数ではありませんよね(hが動くに連れて,p_iの値も変化していく)?

上段はlim[変数-変数]/h
に対して
下段は
lim[変数-定数]/h

となっているので状況が異なると思うのですが、、どのように解釈すればいいのでしょうか?

> lim_{h→0}p_i=lim_{h→0}a_i

については納得です。