奇数次数の多項式の極限は必ず異符号の無限大になる?

質問

こんにちは。
実数係数の奇数次数の多項式f(x):=Σ[i=0..2m-1]a(i)x^i
(a(2m-1)≠0,a(i)∈R:実数体(i=0,1,…,2m-1(mは自然数)))は
lim[m→-∞]f(x)=-∞且つlim[m→+∞]f(x)=+∞
か
lim[m→-∞]f(x)=+∞且つlim[m→+∞]f(x)=-∞
となる事はどうやって示せますでしょうか?

回答No.6

zk43 · ベストアンサー

簡単な実例で示すと、たとえば、f(x)=3x^3+2x^2+x+1のとき、
f(x)=3x^3(1+2/3x+1/3x^2+1/3x^3)
と最高次の項でくくれば、
x→∞のとき、3x^3→∞、カッコの中→1なので、f(x)→∞、
x→-∞のとき、3x^3→-∞、カッコの中→1なので、f(x)→-∞
となる。
最高次の係数がマイナスのときは、無限大の符号が逆になり、
f(x)を一般的な記号で書いたときも、同じように最高次の項で
くくって考えれば、証明を書くのは簡単でしょう。

お礼

簡単なのですね。
完全に納得できました。
どうも有り難うございました。

回答No.5

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。
　質問の趣旨から、m→-∞はx→-∞、m→+∞はx→+∞の誤記だと解釈しました。
　それでしたら、多項式f(x)を
　　f(x)＝Σ[i=0..2m-1]a(i)x^i
　　　　＝a(2m-1)x^(2m-1) Σ[i=0..2m-1] a(i)/a(2m-1) x^{i-(2m-1)}
と変形すると、x→±∞でΣの中身は１ですから、
　　lim[x→±∞]f(x)=±∞　（a(2m-1)＞０のとき）　（複号同順)
　　lim[x→±∞]f(x)=±∞　（a(2m-1)＜０のとき）　（右辺の複号を反転して同順)
と示せます。

お礼

有難うございます。
お陰様で解決致しました。

回答No.4

Meowth

やっと趣旨がわかりました。
証明したいのは
実数係数の奇数次数の多項式f(x):=Σ[i=0..2m-1]a(i)x^i
(a(2m-1)≠0,a(i)∈R:実数体(i=0,1,…,2m-1(mはｍある自然数)))
（ようするに有限の項の和）
lim[ｘ→-∞]f(x)=-∞且つlim[ｘ→+∞]f(x)=+∞
ですね。

お礼

有難うございます。
お陰様で解決致しました。

回答No.3

Meowth

sin(x)は多項式ではありませんが
f(x)=x-1/3!x^3+1/5!x^5-1/7!x^7+....
は奇数乗項だけの多項式です。
この関数の収束先は
+無限大ですか、
-無限大ですか

お礼

有難うございます。
お陰様で解決致しました。

回答No.2

masudaya

厳密ではありませんが,
∃X0∈R x>X0 → ｜x＾(2m-1)｜>｜x＾k｜ ∀k∈{0,1,・・・,2m-2}
なので,x→∞のときは最高次の次数の挙動で決まってしまいます.
要するに2m-1次項のみを考えればいいことになります.
掛かっている定数は正負の符号のみを決めているのですから,結局
x＾2m-1 x→±∞でどうなっているかを議論すればいいことになります.
x→∞ x＾2m-1→∞ であり,x→-∞ x＾2m-1→-∞
なので,結局題意が満たされたことになります.

お礼

有難うございます。
お陰様で解決致しました。

回答No.1

Mr_Holland

lim[m→+∞]f(x)の例として、sin(x)が考えられますが、任意の実数ｘに対して常に有限です。
　条件が不足していませんか？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

お礼

早速のレス有難うございます。

sin(x)は多項式ではないですよね。
「中間値の定理を使って,奇次数多項式は少なくとも一つ0の実数値を持つ」
を証明しています。

奇次数多項式のグラフは左右に広げていくと次第に片方は正の無限大,他方は負の無限大になりますよね。
それで今回の質問を致しました。