増減表を使った証明。。

質問

環論の問題で
f(X)⊂R[X]の次数が奇数ならば、f(X)は実数の零点を持つことを示せ。

という問題があるのですが、
自分がといたやり方としては

解）実数体上の既約多項式はすべて１次または２次である。という定理より奇数次数の多項式f(X)⊂R[X]を既約多項式にすると少なくとも１つは１次式になる。よって、実数の零点を持つ。

このように証明したのですが、ヒントには微積の増減表を使うようにとかかれていました。
だとするとこの証明だとだめですよね？
増減表を使った方法の証明分かるかた教えてください。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

あなたの証明も１つのやりかただと思います。

グラフの増減を考えなさい、というのは
ｎ次整関数　f(x)＝ax^n＋・・・・で　a>0とすると
ｎが奇数のとき
ｘ→∞のときf(x)→∞
ｘ→－∞のときf(x)→－∞
整関数は連続だから中点定理より・・・

これでいいと思います。

∞のときの極限は　　ax^nでくくって　ax^n(１＋b/ax＋・・・）
とすれば　ax^n　によって決まるからです。