- ベストアンサー
有限体の元の個数の証明。
有限体の元の個数の証明。 すみませんがどなたかこの問題を教えてもらえませんでしょうか？ pを奇数の整数、rを正の整数とする。Fp^rの元の平方になっているFp^rの元の個数、すなわち |{αはFp^rに含まれる|α=β^2、あるβはFp^rに含まれる}| は1/2(p^r-1)であることを示せ。 （Fp^rはFp[x]の多項式をr次既約多項式f(x)で割った余り多項式全体の集合） 申し訳ありませんが。どうかお願いします。
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その乗法群を考えるだけの簡単な問題です。 解けたら、p = 2 の場合も考えましょう。
関連するQ&A
- 有限体の問題について
この問題につまづいてしまいました。 （問い） 素数ｐに対して、Fp = Z/pZ とする。 x^2+1∈Fp[x] が既約になるような素数pを求めよ。 小さい素数から順番に当てはめて計算していくと、 どうやらpが「４で割って３余る素数」ならば、x^2+1∈Fp[x] が既約になりそうだ、というところまでは行き着いたのですが、 それを証明する方法がわかりませんし、そもそもこの予想が正しいのかも自信がもてません。 どなたかわかる方、是非教えて下さい。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 増減表を使った証明。。
環論の問題で f(X)⊂R[X]の次数が奇数ならば、f(X)は実数の零点を持つことを示せ。 という問題があるのですが、 自分がといたやり方としては 解）実数体上の既約多項式はすべて１次または２次である。という定理より奇数次数の多項式f(X)⊂R[X]を既約多項式にすると少なくとも１つは１次式になる。よって、実数の零点を持つ。 このように証明したのですが、ヒントには微積の増減表を使うようにとかかれていました。 だとするとこの証明だとだめですよね？ 増減表を使った方法の証明分かるかた教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「有限集合の部分集合は有限集合」の証明
有限集合Xの部分集合Aは有限集合であることの証明がわかりません。 X;集合とします X⊇A とします。 とあるテキストによると,Aが有限集合であるとは, ＿＿∀F∈P(P(X))[F;A上帰納的 ⇒ A∈F] との事です。 ここで,Xの冪集合の冪集合P(P(X))∋FがA上帰納的であるとは, ＿＿φ∈F∧∀C∈F∀x∈A[C∪{x}∈F] であると事,とされています。 この定義に従って, ＿X;有限集合 ⇒ A;有限集合 を証明したいのですが,証明がさっぱり分かりません。 是非とも証明を御教え下さい。宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有限体 ガロア体 多項式
大学の期末試験の過去問なのですがわからないので,ヒント,方針を与えてもらえればうれしいです。 ある大問の中の一つの問題です。前提条件は 「Ｚ3上の多項式p(x)=x^3+2x+1を考える。αをp(x)=0の解とし,元の個数が27個の有限体GF(27)をＺ3上の３次の拡大体Ｚ3(α)として実現する。 このとき,α^2+1を一つの解とするＺ3上の3次方程式を求めよ。」 です。Ｚ3はＺ/Ｚ(3)のことです。「元の個数が27個の有限体GF(27)をＺ3上の３次の拡大体Ｚ3(α)として実現する。」はこの問題で,使わないかもしれませんが, よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有理整数環の正則元の個数
有理整数環 Z について、次に答えよ。 (1) Z は単項イデアル整域であるかどうか。 (2) Z 上の多項式環 Z[X] は単項イデアル整域であるかどうか。 (3) Z の正則元（単数、単元）の個数を求めよ。 （１）は○ （２）も○ まではわかるんですが、（３）の正則元の個数がいまいちわかりません・・・。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多項式が既約である事の証明
多項式、例えばｆ(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1が（Z/2Z)[x] で 既約である事はどうやって証明したらよいのでしょうか？ 二次の多項式であれば証明できるんですが・・・。 どなたか教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。とても役立ちました。