有界閉区間であることの証明

質問

閲覧ありがとうございます。
以下の問題が分かりません。

http://i.imgur.com/NCS1q3U.jpg

恥ずかしながら、どのように解けばいいか、解答の方針すら立たない状況です。
特に、iに関しては証明するまでもなく当たり前ではないか？と思ってしまいます。

分かる方、どうか教えていただけないでしょうか。解説の方、よろしくお願いいたします。

回答No.3

superkeroyon · ベストアンサー

定義域の端点が、値域の最大・最小に対応したりする場合は、イメージしやすいし、そうでなくてもグラフを描けば、正しいだろうという検討はつきますね。ただ、証明は別ですから、、。

定理をいくつか使ってよいなら、次のステップですぐ証明は出ます：
有界閉区間Iはコンパクトである。
コンパクト集合から実数の集合への連続関数は、最大値a、最小値bをもつ。
a=bなら、特殊な有界閉区間。そうでないとすると、
aとbとの間の任意のcに対して、中間値の定理より、f(x)=cとなるIの元xが存在する。
よって、f(I)=[a,b]となるとか、、、。

使える定理からあまりすぐ証明できると練習にならないので、例えばR^nの有界閉区間I（各座標軸で有界閉区間の直積集合）上の連続実数値関数fの像f(I)は有界閉区間になることを証明せよ、、、くらいがいいかもです。もっと一般的に定義域がコンパクトで連結の時、、、くらいにしても（結論は正しいですか？）、位相の練習問題ならいいかもです。

お礼

コンパクトの概念はまだ習っておりませんでした。今ザッと専門書で確認してみたのですが、なるほどこれと中間値の定理を使えばすぐできますね。
おっしゃる方法で勉強してみます。回答ありがとうございました！