座標平面上に１辺の長さが２の正三角形ABCがある。

質問

以下の問題の（２）の解説で２つ疑問があります。

１）解いた時に、△A'B'C'が重心（原点）を中心に動くことに気付きませんでした。気付く方は、どうして or どのような考察をして気付くのでしょうか？

２）△ABCと△A'B'C'が重ならない部分
（例えば、線分ABと線分A'C'の交点をD,線分ABと線分C'B'の交点をEとした場合、△C'DE）が直角3角形になることに、どのようにして気付くのでしょうか？

問題）座標平面上に１辺の長さが２の正三角形ABCがある。
ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。
また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。
直線ｙ＝ｘに関して３点A,B,Cと対称な点を、それぞれA',B',C'とする。

（１）C'の座標を求めよ。
（２）△ABCと△PQRが重なる部分の面積を求めよ。

解答）△ABCと△A'B'C'は、合同な３角形であり、△ABCを原点の周りに30度回転すると△C'B'A'と一致する。ゆえに、△ABCと△A'B'C'が重なる部分から，はみ出した６個の直角３角形は、すべて合同である。（以下省略）

回答No.3

ryu37954069

対象移動と回転移動の関係について学ぶのはまだ先の話で、それゆえに理解を超える部分があるかと思います。
なので、あえてその本質的な部分は、”存在する”ということだけで、おいておき、
直感的に理解する方法だけをここでは述べます。

△ABCとそのy軸鏡面対象な△ACBが合同なのは、当たり前ですよね。
BとCを変えただけで同じ三角形ですから。
ここで、Aはy軸に、A’はx軸にのっています。
ではy軸とx軸を重ねてみてください。

と言ったら、どうしますか。

多分、x軸ないしはy軸回転させて重ねたのではないでしょうか？

そして、そうすることで、△ACBと△A’B’C’が回転によって重なるのでは？という予想がつきます。

ちなみに、さきほど言った、

y軸とx軸を重ねてみてください。

に対して、
y=xという直線に重ねたと考えると、y軸とx軸が、y=xを鏡面とする、鏡面対象になることが直感的に理解できるでしょう。

これらが、実質同じことだということも上記の操作で直感的に理解できたのではないかと思います。

まとまりがなくて申し訳ない。

お礼

詳しい解説、どうもありがとうございました。「鏡面対称」という認識を大事にしたいと思います。