複素関数の答えを教えてください

質問

この写真の問題の答えがわかりません󾭛

回答No.2

178-tall

z の共役 z# (見易さ優先の珍記法) を使えば、|z| = √(zz#), |z-i| = √{ (z-i)(z#+i) ) と書けそう。
明らかに |z| = |z#| が成立ちそう。

　|z|/|z-i| = √(zz#)/√{ (z-i)(z#+i) ) = 1/√(2)
　　　　　↓ 両辺 2 乗
　(zz#)/{ (z-i)(z#+i) ) = 1/2
　　　　　↓ 整形
　2zz# = (z-i)(z#+i)
　2zz# - (z-i)(z#+i) = zz# - i(z-z#) - 1 = (z+i)(z#-i) - 1 - 1 = 0
　(z+i)(z#-i) = |z+i|^2 = 2
　　　　　↓ 両辺 1/2 乗
　|z+i| = √(2)

筆跡を変えても論法は曲げられぬ…の見本になりましたネ。

回答No.1

info222_

z=x+iyとおくと

　|z/(z-i)|=1/√2
　√2 | x+iy |=|x+i (y-1)|
　2(x^2+y^2)=x^2+(y-1)^2
　x^2+y^2+2y=1
　x^2+(y+1)^2=2
すなわち
　| z+i |=√2
これは z=-iを中心とする半径√2の円である。