ベクトルの問題について至急お願いします

質問

至急お願いします！
数学の勉強をしていて行列の問題が分からなくなってしまいました...
解き方と答えを教えていただけますでしょうか
以下の写真にある2問です。 特に（１）は特性多項式にiが出てくるのですがそこからどうやって固有値を出すかが分かりません。
（２）は閉円板とはなにかから教えていただけますか？

回答No.3

sunflower-san · ベストアンサー

おはようございます。
問題の解説です。

(1) 係数が複素数でも実数でも解法は同じです。
問題の行列をMとして、
Mの特性多項式
= det(t・I -M)
= (t -i)^3 +2(t -i)
= (t -i)((t -i)^2 +2)
= (t -i)((t -i)^2 -(i√2)^2)
= (t -i)(t -i -i√2)(t -i +i√2)
よって、解(固有値)はt = i, i±i√2

(2) a, bを複素数として、| a -b | は複素平面上の２点a, b間の距離を与える。(←知ってますね？)
よって、| z^3 +2 | はz^3と(-2)の間の距離である。
| z |≦1 ⇔ | z^3 |≦1
すなわち、z が0(原点)を中心とした単位(="半径1の")閉円板上の点であるなら、z^3 もまた、0(原点)を中心とした単位閉円板上の点である。
よって、| z |≦1 の条件下で | z^3 +2 | を最大化するためには、z^3が「単位閉円板上の点のうち、z = -2から最も遠い点」となるようにすればよい。そのような点は明らかに 1 である。よってz^3 = 1のときに | z^3 +2 | は最大値をとることが分かる。このような z の値は、ωを1の原始三乗根として z = 1, ω, ω^2 の三点ある。
また、| z |≦1 の条件下で | z^3 +2 | を最小化するためには、z^3が「単位閉円板上の点のうち、z = -2から最も近い点」となるようにすればよい。そのような点は明らかに -1 である。よってz^3 = -1のときに | z^3 +2 | は最小値をとることが分かる。このような z の値は、ωを1の原始三乗根として z = -1, -ω, -ω^2 の三点ある。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました！
助かりました！

回答No.2

sunflower-san

ちなみに言葉の意味ですが、閉円板とは境界を含む円板のことを言います。
たとえばRを正の実数として、複素平面C内で{z∈C; |z -z0|≦R}はz0を中心とした半径Rの"閉"円板になります。
これとは逆に境界を含まない円板のことを開円板といいます。
たとえばRを正の実数として、複素平面C内で{z∈C; |z -z0|<R}はz0を中心とした半径Rの"開"円板になります。

回答No.1

sunflower-san

写真がはっきり読み取れないのですが、
(1)の行列は
[ i, 1, 1]
[-1, i, 0]
[-1, 0, i]
でしょうか？
また、(2)の文章はなんと書かれているのですか？

補足

(1)の行列はそれです！
(2)はf(z)＝xの3乗＋2とする
If(z)Iの閉円板△＝｛IzIが1以下｝の時の最大値最小値を求めろ
またその時の点も求めろです
記号が打てなくてすみません…