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微分方程式
spring135の回答
- spring135
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y/x=uすなわちy=uxとおく。 y'=u'x+u y''=u''x+2u' x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0に代入して整理すると u''-u'=0 p=u'と置くと dp/dx=p dp/p=dx log(p)=x+c p=e^(x+c)=ae^x u=∫ae^xdx+b=ae^x+b y=xu=axe^x+bx 後半の問題も同様にy=xuと置換して x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=xに代入して整理すると u''-u'=1/x^2 p=u'とおくと P'-p=1/x^2 一般に y'+P(x)y=Q(x)の解は y=(∫Q(x)exp(∫P(x)dx)+c)exp(-∫P(x)dx) これを用いるとP(x)=-1, Q(x)=1/x^2 ∫P(x)dx=-xなので p=(∫exp(-x)/x^2dx+c)exp(x) =[exp(-x)(-1/x)-∫exp(-x)/xdx+c]exp(x) =[-exp(-x)/x-Ei(-x)+c]exp(x) Ei(x)=∫[exp(-x)/x]dxは積分指数関数という非初等関数、これ以上追及しない。 uはpを積分したものでy=xu ∫
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