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集合について証明お願いします。
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記号f^-1の説明が何もないので証明不能です。想像するに、写像fの逆像に関する証明なのでしょう。 省略しないようにしましょう。さて、そうなら、f^-1(・)も結局集合のことですから、集合が等しいことを証明するわけです。 以下ヒント 集合S,TがあってS=Tを証明するには、S⊂TかつT⊂Sを証明する。 S⊂Tを証明するには∀x∈S⇒∀x∈Tを言えばよい。 (1)f^-1(A∩B)=f^-1(A)∩f^-1(B) を証明したいのだから f^-1(A∩B) ⊂ f^-1(A)∩f^-1(B) かつ f^-1(A)∩f^-1(B) ⊂ f^-1(A∩B) を言えばよい 前半の証明 x∈f^-1(A∩B) とすると逆像の定義よりf(x)∈A∩B なので f(x)∈Aかつf(x)∈B なのでx∈f^-1(A)かつx∈f^-1(B) なので x∈f^-1(A)∩f^-1(B) ここまでxは任意のx∈f^-1(A∩B) で成り立つから ∀x∈f^-1(A∩B) ⇒ ∀x∈f^-1(A)∩f^-1(B) よってf^-1(A∩B)⊂f^-1(A)∩f^-1(B) ぎゃくも同様に証明できるので。やってみてください。 (2)も同様に証明します。
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- MagicianKuma
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筆が滑りました。S⊂Tを証明するには∀x∈S ⇒ x∈T を言えば良い。の間違いです。後の∀は不要です。
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お礼
ありがとうございます。よく分かりました。