100万枚中 3345枚買うだけで当選確率急上昇？

質問

＞　急募！確率の計算をお願いします！
http://okwave.jp/qa/q8654854.html

という他の方のご質問に関連して、私自身が疑問を抱いたので、別質問を自分で上げさせていただきます。お手数ですが、そちらをまず先にご覧ください。

タイトルは　ジャンボ宝くじ　の１等組違い　をイメージして書きましたが特に意味はないです。ただ、100万本のクジの中に3本の当たりクジが入っていて、クジを元に戻さないということは、同じ数字が出ないジャンボと似ていますよね。ジャンボの場合は、さらに組番号も一致しないといけないですし、組違い賞は前後賞ない上に、3本だけではないですけどね。同時に買いますが、順に引くのも同じことと解釈してください。また、買うではなく「引く」という言い方に統一します。

それにしても、わずか　3345回ハズレを引き続けただけで、
　　当たりの確率が　約33万3千分の1　から　1/100　に急上昇
することの意味が、悩ましいです。
　　3345回ハズレたもとでの、条件付き確率
ではあるだろう、ということは考えていますが。

人間の直感としては、まだクジが　996655本も残っているのだから、
　　当たりの確率は　約33万2千分の1　のままほとんど変わっていない
と思うのですが、
　　1/100の意味を　教えてください。
1/100　ということは、
　　じゃあ　3345+100＝　3445回目まで　あと100回がんばってみようかな
と思ってしまう数字ですね。しかし、3445回目まで引き続けても、確率はさほど変わらないわけです。

手元の試算では、
200000回目まで引いてもまだ確率は　1/2　には達しなくて、
210000回目まで引くと　1/2　をやや超える
となると思います。
1/100　で当たる！　と言われてから、20万回もハズレ続けたら、凹みますよね・・・

ｙ＝（100-ｘ）^3　のような３乗の式において、33万分の1　が急に　1万分の1　になり、100分の1　になること自体はなんとなくわかります。ただ、1/100　で当たる！　ということ自体が意味するところを図りかねているのです。

お知恵をお貸しください。

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papapa0327 さんありがとうございました。
私は「元の質問」の＃１、２です。
ここから下は、「元の質問」をご覧になった方への補足なので、読み飛ばしていただいて支障ありません。

＞　計算機は近似誤差が生じますから。

と書いた通り、エクセルでは一部誤差を確認しました。
＃３と＃４で解答に誤差が生じていて、質問者さんは混乱すると思うので、

　　私の筆算では　最小のｎ＝3345　となった

ことをお伝えしておきます。検算をなさって同じ答えになったとのことで、安心しました。
かなり早い段階で、
　　996660 * 996659 = 99333015894 は正しいけれども
　　996660 * 996659 * 996658 = 9.90010449548823000E+17 は誤差を含む。
　　（恐らく上から16桁目で四捨五入されている）
　　正しい計算結果は
　　99333015894 * 996658 = 990010449548822520
ということに気付きました。

エクセルで精度を上げるオプションが上げる設定があるのかどうか私は知りませんけれども。
そこで、筆算が最も正確だろう、ということで実行しました。
実際には、エクセルのセル１つを数字１つとして、筆算の関数を設定して（繰り上がりも別のセルを用意して）、忠実に手でやることをエクセルにやらせている（１桁*１桁の掛け算と、１～2桁*１桁の足し算のみ）ので、計算誤差の生じようがありません。

　　996650 * 996649 = 993310225850 は正しい。
　　996650 * 996649 * 996648 = 9.89980649972951000E+17 は誤差を含む。
　　996650 * 996649 * 996648 = 989980649972950800 が筆算による正しい計算結果。

　　990000 * 999999 * 999998 = 9.89997030001980000E+17
　　990000 * 999999 * 999998 = 989997030001980000 が筆算による正しい計算結果。
　　同じとなった。これが大小の比較対象（◆）。

　　996656 * 996655 * 996654 = 9.89998529646715000E+17 は誤差を含む。
　　996656 * 996655 * 996654 = 989998529646714720 が筆算による正しい計算結果。
　　◆より微妙に大きい。

　　996655 * 996654 * 996653 = 9.89995549686138000E+17 は誤差を含む。
　　996655 * 996654 * 996653 = 989995549686137610 が筆算による正しい計算結果。
　　◆より微妙に小さい。
　　よって、このときのｎの値　1000000-996655＝3345　が答えです。

＃２の方の計算結果に誤差が含まれていたかどうかは知りませんが、答えが同じになったということは、「割り算型」の＃２の式がかなりエクセルと相性が良かったのでしょう。

ただ、もう一度繰り返しになりますが、計算機を使う場合には、上記のように桁の途中で近似（四捨五入など）が行われることを、今後もご留意ください。

余談ですが、
私が　ｎ＝1からの計算のイメージ　をお伝えしていましたが、
細かいことを言うならｎ＝1やｎ＝2は別の式を立てないと確率計算として不適でしたね。
　　ｎ≧3　とすべきでした。
同様に、
　　１－（999997Pｎ／1000000Pｎ）＞1/100　は
　　１－（999997Pｎ／1000000Pｎ）≧1/100　（ｎ≧3）とした方がより題意に沿う
ので訂正しておきます。

ｎ＝10000　のとき
　　990000・999999・999998　＞　990000・989999・989998
成り立つかどうかはご自分で頑張ってください、と書きましたが、左辺と右辺を見比べれば
　　999999・999998　＞　989999・989998
なのは明らかなので、最小のｎは　10000より小さい値となる　のはすぐわかることでした。

＃４の方の誤差の詰め方はたいへん勉強になりましたが、
かなり最初の方の、
　　1E4(1E2-1)(1E6-1)(1E6-2) = 1E18-1E16-3E12-3E10+2E6-2E4
　　1E4(1E2-1)(1E6-1)(1E6-2) = 1E18-1E16-3E12+3E10+2E6-2E4
私は　+3E10　の方が正しいと思うのですが、なぜ　-　になっているのかが謎です。
もう一つ、
　　(1E6-n)(1E6-(n+1))(1E6-(n+2)) = 1E18-(3E12)(n+1)+(1E6)(3n^2+6n+2)
　　(1E6-n)(1E6-(n+1))(1E6-(n+2)) = 1E18-(3E12)(n+1)+(1E6)(3n^2+6n+2)+n(n+1)(n+2)
の　+n(n+1)(n+2)　をなぜ省略なさったのか　もよくわかりません。
まあ、この後、
　　n(n+1)(n+2)／1E4
をなさっているので、
　　絶対値の小さい項を無視
に含まれているのかも知れませんが。

３人のやり方で答えが微妙に異なってくるのがおもしろいですね。
＃４が一番、巨大な数字の計算には向いていると思いますよ。
目の前にいつでもパソコンがあるとは限らず、数学は頭の中、ペンと紙で完結する方が美しいですから。

以上

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

100万本中 3本が当たりとします. このとき 3344回ひいてすべてはずれだったとしましょう. その条件における, 「3345回目があたりである」条件付き確率は当然
3/(1 000 000 - 3 344) = 3/996 656 (～ 1/332 219)
です.

え? 「1/100 とは全然違う」ですか? そりゃそうでしょう, だって「3345回引くと 1回以上当たる確率は 1/100」というのは
3345回のうち少なくとも 1回で当たる確率
であって
3344回外れた後で 1回当たる確率
とは全くの別物なんだから.

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

私もどこがボケているのか、なんとなく見えてきました。ただまだ「そりゃそうでしょう」の部分がまだはっきりわかっていないので質問させてください。

3346回目も、
3347回目も、当たりクジを引く確率はあくまでも　約1/332000　のまま
であって、微妙に確率は上がっていくけれども1/100よりはるかに低確率であることは間違いないですね。

3345回のうち少なくとも 1回で当たる確率というのは、
約1/333000～約1/332000　を　3345回分累積した（和を取った）、
という考えで合っていますか？

3345/333000　で近似すれば、約1/100　ということですね？

恥を忍んでお聞きして良かったです。理解できていることを祈ります。

補足

お礼の後　補足ですが、
確率が　1/100　を超えるようになってきたということは、

クジを後　100回引けば1回当たることが見込まれる、ということではなく、

「3345回引く（3345枚買う）」という行為をあと99回繰り返すと　1回当たることが見込まれる、ということで合っていますでしょうか？

まあその場合には結局、合計で　約33万回クジを引くことにはなりますが。

なんか、ドツボに　はまる、って感じで恐いです。

回答No.2

Tacosan

や, 「恥」ってことはないと思いますよ. たまたま先に答えが認識できていたから「そりゃそうだ」などと大口叩いてますけど, 実際には「あれ? どうだっけ?」と考えた結果として「自分の中で」そりゃそうだにたどりついただけなんで.

で, と.

「あと99回繰り返すと　1回当たることが見込まれる」というのもちょっと違います.

確率というのは, 大雑把にいえば「同じことを何回も繰り返したときに成功する割合がどのくらいか」という指標です. つまり,
100万枚中 3枚のあたりがあるときに 3345枚引けば 1/100 の確率で少なくとも 1回は当たる
というのは
「100万枚から 3345枚引く」という試行を繰り返す (1回やるたびに改めて 100万枚用意し直す) と 100回の試行に対して 1回くらいはあたりが出る
という意味です. 「あと 99回繰り返す」というと「外れた 3345枚は捨ててしまう」ように聞こえますが, それではだめで「3345枚引く→あたりがあるかどうかを確認する→引いたくじは戻す (だから 100万枚に戻る) 改めて 3345枚引く」という操作になります.

で戻ると
「3345回のうち少なくとも 1回で当たる確率というのは、
約1/333000～約1/332000　を　3345回分累積した（和を取った）、
という考えで合っていますか？」
も「だいたい」あっています. ここの「だいたい」は, 「2回以上当たる可能性を無視している」という意味です (もちろん 2回以上当たることなどほとんどないと思うので「だいたい」あっているわけですが).

ちなみにですが, 元の問題の #2 を見たときに, 「まあそんなもんだよね」と感じました. というのも
・当たる確率が 3/10^6 なら 3333枚引けばあたる枚数の期待値は 1/100 くらいになる
・3333枚引いたときに 2枚以上当たる確率は小さいと思われる
ため, ほぼ「期待値 = 確率」と考えられるからです.

あとついでに Maxima に正確な計算をさせてみました. 100万枚中 3枚が当たりのときに
・3344枚引いて少なくとも 1枚のあたりが出る確率は
分子: 349018515274936424386120529407[9665 digits]704448631258654986398965428640
分母: 349070863660254702039267583300[9667 digits]367425598633687054798026000000
なので 1/100 よりちょっと小さい (分母が分子より 2桁大きくかつ先頭の数字も分母の方がちょっとだけ大きい).
・3345枚引くと
分子: 104022442918806962207567104415[9668 digits]686978764313354027100892504736
分母: 104007046544745832680313384903[9670 digits]822100876489089771833004800000
で 1/100 よりちょっとだけ大きい.
となっています.

お礼

Tacosanさん、お手数をおかけいたしました。

今完全に理解できてすっきりいたしました。

＞　100万本のクジの中に3本の当たりクジが入っている。
＞　これを何本引けば、1/100の確率で当たりくじを１本以上引くことができるか？

1万本未満（100万本の100分の1以下）で確率1/100に到達できるはずがない、と思い込んでいたことが、私の思考を曲げていました。

その後のお礼中の質問や補足でも、私の言葉がだいぶ不足していたことを自覚しました。ご丁寧なご指摘ありがとうございます。私の言いたかったことは、正に汲み取ってくださった通りなので、考え方が合っていて安心しました。
2回以上の件も気付いていたのですが、人に尋ねるときに途中を端折るのは良くないことでしたね。

あたる枚数の期待値、ほぼ「期待値 = 確率」
このような考え方も参考になります。

Maxima　という便利なフリーソフトがあるんですね！
具体的な数値を示してくださってありがたいです。
最近消費税も含めて計算機の誤差が気になっていたので、
近似より、こういう多桁の演算に安心します。数学というよりも非常に個人的な感想ですが。

1/100　→　3345＋100＝3445回　という考え方の間違いに気付き、助かりました。
ありがとうございました。