回転するパイプの中にある球の運動

質問

図はパイプの断面図です。
x軸は常にパイプと平行です。
パイプが回転すると、x軸も回転しますあす。
y軸はx軸に垂直です。
原点は回転軸の点です。
パイプの回転軸は水色の点です。
球の質量はMとしてください。
静止している人から見たときのことです。
ここで質問です。
1、パイプの中にある球は回転軸から外側に向かって加速していく時、球がx方向の位置rの時の速度v(x方向成分)を教えてください。ただし、摩擦係数はμとしてください。

2、ある時間tで進む球の距離を教えてください。ただし、x方向のみの距離だけでお願いします。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

補足1点目
　角速度ωが一定でも、x方向の位置（半径r）によってy方向の速度は変わりますよね。
というわけで、もし球がx方向に移動しているなら、それに伴ってy方向の（慣性系からみた）速度が変わっています。で、このy方向の加速度はパイプの壁面から受ける垂直抗力で与えられているわけです。

補足2点目
　間違いです。すいません。

補足3点目
　「定数係数線形2階微分方程式」とかで検索すれば解き方が出てくるでしょう。
基本的には、一般解は、（特性方程式が重解でなければ）
r = C1×e^(λ1*t) + C2*e^(λ2*t)
の形になります。これに初期条件を代入して、C1とC2を決めれば良い。
この問題では、初期条件が、t=0でr=r'=0なので、
C1=-C2=0
あれれ。。r=0になってしまった。。。
よく考えたら、これは当然ですね。。。球が、完全に中心で静止している状態で、パイプを回転させても、球は、絶妙なバランスで左右どちらにも動かないですね。（何かの拍子に、ちょっとでも中心からずれてしまったら、一気にそっちに動き出しますが）
というわけで、初期条件t=0でr=r'=0は問題として、ちょっと不適切でしたね。
たとえば、t=0で、r=1、r'=0とかを考えれば（中心からずれた場所に球が静止している）、意味ある解が出ると思います。

お礼

ありがとうございました。
おかげ様で解くことができました

回答No.2

rabbit_cat

＃１さんの言われるとおり、摩擦の設定は曖昧です。
まず、物理の問題で「球」と書いてあったら、普通は「転がることを考慮しなさい」という意味でして、摩擦力も、すべり抵抗と転がり抵抗の両方をを考えないといけないのですが、
図を見る限り、つまり、パイプに球がぴったりはまっている（パイプ内を球が転がるわけではない）、ということですかね。（つまり、「球」ではないくて、角型のパイプに立方体の物体がはまっていると考えてよい？）
それから、球はパイプに無理やり押し込まれている状態（つねに応力というか、垂直抗力がかかった状態）なのか、そうでないかによって、当然ながら摩擦係数が同じでも球に実際にかかっている摩擦の大きさは変わりますね。
とりあえず、球の大きさはパイプの内径とぴったり同じ状態で、静止状態では応力はまったくかかっていない、と仮定してみますか。

パイプの回転の角速度がωとして、x=rの位置にある球は、y方向に速度 rωで動いています。
したがって、x方向の速度がvなので、y方向の加速度は、vωです。
この加速度は、球がｙ方向にうける垂直抗力によってもたらされているはずです。
というわけで、垂直抗力の大きさは、N=mvω です。

次にｘ方向について考えると、球は、プラス方向に遠心力 mrω^2 、マイナス方向に摩擦力 Nμを受けてるので、運動方程式を立てれば、
mrω^2 - mvωμ = ma
です。ただし、aは、x方向の加速度。
v=dr/dt=r', a=dv/dt=r'' を考えれば、

rω^2 - r'ωμ = mr''

というrについての２階微分方程式ができます。これを、t=0で、r=0, v=r'=0の条件で解けば、v=dr/dt が求まります。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。
まず、摩擦の件は申し訳ありません。
物理学での球の意味を理解してませんでした。本当にすいませんでした。
非常に丁寧に回答していただいたのに、恐縮ですが、3点わからないことがあります。一点目はy方向に加速度が生じる理由がよくわかりません。ωが一定だとしたらy方向の加速度は0になると思うのですが間違いでしょうか？
2点目は回答では
rω^2-r'ωμ=mr"
となってますが
rω^2-r'ωμ=r"なのではないでしょうか？
3点目は2階微分方程式の解き方がわかりません。私の力不足です。
もし、時間がありましたら、いつでもいいので教えていただけないでしょうか。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

摩擦係数を定義して下さい。
何に対するどんな摩擦ですか?

お礼

回答ありがとうございました。
摩擦の件は申し訳ありません。
NO1さん、NO2さんがおっしゃるように摩擦の定義ができてませんでした。
本当にすいませんでした。
球の径とパイプの内径が同じと考えてください。転がり摩擦は考慮せず、すべり摩擦のみ働いています。

補足

早速の回答ありがとうございます。
球はパイプ(接触面積:A)から球の運動を妨げる方向に摩擦力を受けています。