数学 線形写像 全射

質問

全射について教えて下さい。

全射の定義を以下に示します。
f(A)=B⇔∀b∈B,∃a∈A such that f(a)=b

f(A)=B⇔∀b∈B,∀a∈A such that f(a)=b
ではダメなのでしょうか？

∃a∈Aとするのはなぜですか？
なぜ、任意のaはAの要素ではダメなのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

superkeroyon · ベストアンサー

∀b∈B,∀a∈A such that f(a)=b
の意味を考えてみましょう。

Bの元bを任意にとってきます。このbは以下で固定して考えます。
すると、∀a∈A such that f(a)=b
から、

Aのどんな元a∈Aをとってきても、f(a)は
その固定されたbになります、f(a)=b、.................................(1)

という意味になります。つまり、定値写像（一つの値しかとらない写像）を意味してしまうことになります。

しかも、Aが非空なら、Bは一つの元からなる集合であるということも出てきますね。
理由：Bの任意の元b_1,b_2についても、(1)が成立するので、特にAの元aを任意にとってくると、f(a)=b_1,f(a)=b_2 となりますので、b_1=b_2を得ます。すなわち、Bの任意の元は同一であることになり、Bは一つの元からなる集合であることになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

ありがとうございました。