関数解析についてです。

質問

Eをバナッハ空間、FをEの閉部分空間とするとき、部分空間Fおよび商空間E/Fはバナッハ空間であることを示せ。という問題です。解析が苦手でわかりません、よろしくお願いします。

回答No.1

motchandesu

Fが部分空間だから、ベクトル空間です。
もちろん、Eと同じノルムでノルム空間です。
あとは、このノルムによる距離で完備かどうかですが、ここで、閉空間であることから完備が分かります。アウトラインはこんな感じです。

さらに、E/Fですが、商空間のノルムの定義はどうするかは大丈夫ですか？
こんなことは基本ですので、それなりの本を見れば書いてあることです。

分野は分かっていらっしゃるようなので、その分野の本をあたってみてください。