解析関数

質問

{a[n]}、｛ｙ[n]}を数直線上の離散点列とします。
このときｆ(a[n])＝ｙ[n]なる解析関数というのは無数に存在するのでしょうか。
理由とともに教えてください。

回答No.8

alice_44

ああ、失礼。その通り。
f(x) が x=∞ で正則になる理由が無い。

それどころか、
C^{∞} で正則な関数は、定数関数だけだから、
C の整関数は、∞ では解析的にはならない。
sin がその例ね。
いや、我ながらしょーもなかった。

補足

色々と考えてくださり、ありがとうございます。

回答No.7

noname#199771

一致の定理が使えるのは、集積点が定義域の内部にある場合。
#4では無限遠を0とみたgの一意性は確かにいえるが、fについては
存在を与えてはいるものの一意性を言っているわけではない。∞を
原点とみたときと0が原点のときとでは「解析的」の意味が違うからね。

Γ関数とか持ち出さなくてもbx+csinx(b/c>1,b>0,c>0)とかでもよくて、
自分で言ってるように（？）c動かせばいいんじゃない？
っていうか、そこを踏まえての質問なの？

補足

ガンマ関数を持ち出したのは、ちょうどガンマ関数を考えていたからです。

この質問は任意の点列に対して、題意にあるような解析関数が存在し、かつそれが無数に存在するのかということです。特定に解析関数に限った話ではありません。
言われる論法でそのことが結論付けられるでしょうか。

回答No.6

alice_44

無限点列は、離散にしようにも、
∞ も含めればどこかには集積してしまうから、
一致の定理が効いて、解析関数は一意になる
…という言い方もできるね。

回答No.5

noname#199771

離散点列ってどういう意味で言ってるの？

補足

数直線上で集積点を持たない点列のことです。
一般的な用語ではないみたい。

回答No.4

alice_44

n が有限の場合は、A No.1 でいい。
ラグランジュ補間ってやつだ。
参照点を a[n] 意外にも何個でも追加できるから、
得られる解析関数は無限にある。

n が無限の場合は…
a[n] が有界と仮定すると、
有界な無限列は集積点を持つことから
a[n] が離散にならない。
背理法により、a[n] は有界でなく、
a[n] に含まれない値を一つ b と置くと、
1/(a[n]-b) が 0 に集積する。

各 1/(a[n]-b) で値 y[n] をとる解析関数は、
「一致の定理」により、一意に定まる。
それを g(x) と置くと、
f(x) = g(1/(x-b)) で定まる f(x) が、
a[n] で値 y[n] をとる一意な解析関数となる。つまり、f は 1 個しかない。

補足

回答ありがとうございます。

例えば、ガンマ関数Γ(x)を考えたとき、f(x)＝Γ(ｘ)＋sin(2πｘ)もｘが自然数において、Γ(x)と同じ値をとる解析関数ですよね。どこか証明にギャップはありませんか？

回答No.3

noname#199771

無限点列なら、連続関数すら存在するとは限らない。

例えば
a[n}=1/n
y[n]=(-1)^n

補足

a[n}=1/nは数直線上の離散点列じゃないですよね。
原点が集積点になってます。

回答No.2

noname#199771

＞任意の自然数ｎに対して

質問文と違うようだが？有限個じゃないの？

＞ｆ(a[n])＝y[n]となることはどうして言えるのでしょうか。

素直に代入して確認。

補足

すみません。
質問の仕方が悪かったようです。
無限点列を考えています。
大変失礼しました。

回答No.1

noname#199771

f(x)=Σ[i=1→n]y[k](x-a[1])…(x-a[k-1])(x-a[k+1])…(x-a[n])/{(a[k]-a[1])…(a[k]-a[k-1])(a[k]-a[k+1])…(a[k]-a[n])}
は条件を満たす。
a[n],y[n]を好きに追加すれば別の関数が作れる。
解析関数どころか多項式だけどね。

補足

いつもお世話になります。

すみません。
ちょっとよくわからないのですが。
例えばその式から、任意の自然数ｎに対して、ｆ(a[n])＝y[n]となることはどうして言えるのでしょうか。