大学物理の課題なんですが…

質問

非同次の微分方程式(B)でx0(t；c1,c2)を対応する同次の微分方程式(A)の一般解xp(t)を(B)の特解とするときx0(t；c1,c2)+xp(t)≡x(t)も(B)の一般解であることを示せ。です
全く分からないので解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

非同次の微分方程式の一般形は
　x'' + f(t)x' + g(t)x = h(t)

ほいで、
　x'' + f(t)x' + g(t)x = 0
の解がx0というのだから、
　x0'' + f(t)x0' + g(t)x0 = 0　　　・・・（あ）

xpは
　x'' + f(t)x' + g(t)x = h(t)
の特解というのだから、
　xp'' + f(t)xp' + g(t)xp = h(t)　　・・・（い）

x(t) = x0 + xpとして、非同次の微分方程式に入れると、
　x'' + f(t)x' + g(t)x
= (x0+xp)'' + f(t)(x0+xp)' + g(t)(x0+xp)
= (x0'' + f(t)x0' + g(t)x0) + (xp'' + f(t)xp' + g(t)xp)　　　・・・（う）

で、（あ）から
　(x0'' + f(t)x0' + g(t)x0) = 0
（い）から
　(xp'' + f(t)xp' + g(t)xp) = h(t)
になるので、
　（う）式 = h(t)
となる。
よって、
x(t) = x0 + xpは、非同次の微分方程式の解となる。

みたいな感じ。

お礼

マジ神です。
ありがとうございます！

補足

大変恐縮で厚かましいのですが後1つの質問だけお時間よろしい時にご解答をお願いできないでしょうか？すみません。