- 締切済み
累乗の和
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
みんなの回答
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
それはちょいとかいかぶりすぎ＞#3. まあ「単に答えて終わり」よりは頭使うんだけど, うまくいかず「無関係な与太話」になることも多々ある. ちなみに, 他にも ・微分してみる ・確率論の知識から直感 とかありますな. 後者だと, この和の 1/6 は 確率 1/6 で成功するときの, 「連続して失敗する回数」の期待値 だったりする. で, 「確率 1/6 で成功する」ってことは「およそ 6回に 1回成功する」ってことだから 「連続して失敗する回数」はだいたい 5回くらいかな って思えるわけだ.
- funoe
- ベストアンサー率46% (222/475)
数学の力をつける（＝将来の＊＊試験の際、自力で解けるようになる）ために 必要かつ的確なアドバイスが寄せられているのに気付いていないのでしょうね。、 素直な普通の良い子なら、 「自分の質問に対し、いきなり無関係な世間話をしているわけがない」 → 「それを思い出せばなんらかのヒントになるはずだ」 → 「よし、等比級数の公式をどう作ったか調べてみよう」 → 「おぉ、この問題の解き方もわかったぞ」 となって、この質問の回答も思いつき、そして、いずれかの試験（入学試験とか)の際、自力でこの問題が解けるようになるんです。 ヒネた子や天邪鬼の子、あるいは素直すぎて天然な子は、質問に対しシンプルな回答 「覚えていません」 と答えて、それ以上の発展がないんです。 そんな子たちは、ここ（↓）に書いてあるガイドをなぞって、わかったような気になって、実際には身についていないから 試験の時には答えられない・・、なぁんてことにならないよう祈っています。 .Σ【n=∞~0】 ｎ(5/6)^n ＝ Ｓ と置く Ｓ=1*(5/6)+2*(5/6)^2+3*(5/6)^3+4*(5/6)^4+・・・・・ ここで、Ｓを5/6倍する。 (5/6)*Ｓ＝1*(5/6)^2+2*(5/6)^3+3*(5/6)^4+4*(5/6)^5+・・・・・ 分かりやすくちょっとずらして Ｓ ＝1*(5/6)+2*(5/6)^2+3*(5/6)^3+4*(5/6)^4+・・・・・ (5/6)*Ｓ＝ 1*(5/6)^2+2*(5/6)^3+3*(5/6)^4+4*(5/6)^5+・・・・・ 上の式から下の式を引くと (1/6)Ｓ ＝(5/6)＋(5/6)^2+(5/6)^3+(5/6)^4+(5/6)^5+・・・・ つまり（1/6）Ｓは、初項5/6、等比5/6の等比数列の和なので、無限和は５． (1/6)Sが５なので、Ｓは３０。 -- こうやって、「元の式を何倍かして、ちょっとずらして、引き算する」っていうテクニックって 等比数列の和の公式を作るときに学んだ手法です。 なんで、それを思い出す（調べる）のが良いという、深淵なるアドバイスが付いているのです。
お礼
解答ありがとうございます。 また、アドバイスありがとうございます。 答えだけを求めすぎていました。 力を付けられるよう頑張ります。
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>Σ【n=0～∞】 ｎ(5/6)^n n=0の項は0なのでn=1～とします。 S=Σ【n=1～∞】 ｎ(5/6)^n …(1) 両辺に(5/6)を掛けて (5/6)S=Σ【n=1～∞】 ｎ(5/6)^(n+1) …(2) (1)-(2)より S/6=[(5/6)+2(5/6)^2+3(5/6)^3 + … + n(5/6)^n +(n+1)(5/6)^(n+1)+ …] -[ + (5/6)^2+2(5/6)^3 + … +(n-1)(5/6)^n +n(5/6)^(n+1) + …] = (5/6) + (5/6)^2 +(5/6)^3 + … + (5/6)^n + (5/6)^(n+1) + … =(5/6)/[1-(5/6)] = 5 …(答)
お礼
解答ありがとうございます。 後、Σ【n=∞~0】 ｎ^2・(5/6)^n など、ｎに累乗をがついたとき、上の方法を二回行ったら解けたのですが、このやり方で大丈夫ですか？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
等比級数の公式をどう作ったか, 覚えていますか?
補足
a(1-r^n)/1-r の公式は覚えていますが、 どうやって作ったのかは、覚えていません。
関連するQ&A
- Σの和を求める計算
n-1 Σ(2k-1) k=1 この計算で、n-1の部分がnだけであれば公式を使ってそのまま計算できるのですが、 n-1になった場合はどのように計算すればいいんでしょうか？ やっぱり公式を使うんですか？ その場合、どうやって当てはめればいいんですか？ 答えは 2×1/2n(n-1)-(n-1) =(n-1)(n-1) =(n-1)^2 となっています。 1/2n(n-1) は公式にありますよね？ 公式を使ったものなのでしょうか？ それとも計算上、偶然公式と同じになっただけなのでしょうか？ 計算式だけではなく、なぜそうなるのか説明も入れていただけたら嬉しいです。 わかる人、回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列Σ自然数の累乗の和の公式について
自然数の累乗の和の公式に ｋ＝1～ｎ のとき Σｋ＝{ｎ（ｎ+1）}/2 Σｋ^2＝{ｎ（ｎ+1）（2ｎ+1）}/6 がありますが ｋ＝3～ｎ など1から始まらないときは、この公式は形を変えて使えるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の和教えてください。
数列の和（Σ）についてなのですが、 ｎ-１ Σ（ｎ+１）/ｎの計算の仕方です。 ｋ＝１ ｎ Σｋ ＝ｎ（ｎ+１）/２ ｋ＝１ のように 分数のΣの公式ってあるのでしょうか？ 教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 累乗の和の式の導出について
S=1^2+2^2+3^2+...+n^2 で (n+1)^2-n^3=3n^2+3n+1 (1) において (n+1)^2-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n (2) (n+1)^2-1=3S+3・1/2・n(n+1)-n (3) の式変形の流れがわかりません 特に (1)から(2)に変形されるにあたって (左辺)のn^3が1になっていること (2)から(3)に変形されるにあたって 3Sとは別に3/2・n(n+1)がでてきたこと がわかりません。 どのように変形すれば上記のような変形ができますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 分数の累乗と階乗を含む四則計算
下の計算方法を教えてください。 {(10!/((n+1)!(9-n)!)) × (1/6)^(n+1) × (1/3)^(9-n)} - {(10!/(n!(10-n)!)) × (1/6)^n × (1/3)^(10-n)} 分かりやすいようにしたつもりですが、{A} - {B}の形です。 最終的に (10!/((n+1)!(10-n)!))×(1/6)^(n+1)×(1/3)^(10-n)×{3(10-n)-6(n+1)}とい う風になるらしいのですが、何故この様になるのか分かりません。調べようと したのですが、どういう単語で検索して良いのかも分からず、ここで訊くこと にしました。「累乗の四則計算」ということで良いのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自然数の累乗の和の公式（Σ）
こんばんは。高校数２ 自然数の累乗の和の公式 （Σ）について質問します。 n (1)３＋３＋３＋・・・＋３＝Σ３＝３ｎ （↑３がｎ個） k=1 とのことですが、証明（説明）することはできるのでしょうか？ (2) n ｎ (Σk)の２乗と,Σk^3の結果は同じですが、これは説明できますか？ k=1 k=1 初歩的な質問かもしれません。 参考書を読みましたが、(1)については説明がなく、また、(2)についてはΣk^2やΣk^3の証明が複雑そうなので、公式として結果だけを暗記すればよいのか、他にもう少し分かりやすい考え方がないかどうかを知りたいので質問します。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の和ですが・・・
こんばんは。 数列の和の計算の問題ですが、 １＋３・２＋５・２＾２＋・・・＋（２ｎ－１）２＾ｎ－１ を計算するとどうしても答えが （２ｎ－５）２＾ｎ＋３になってしまうのですが 答えは（２ｎ－３）２＾ｎ＋３ です。どちらが正しいのでしょうか。 また、つまらないことですが、２＾２ｎ－１＝２・４＾ｎ－１ はどういう過程をたどればよいのでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等比数列の和の公式の求め方について。
等比数列の和の公式を導くときに、 S_nに公比rを掛けて、S_n-rS_nを計算して、等比数列の和の公式を導きますよね。 それってなぜなのでしょうか？ 普通、和を求めなさいって言われたら、前から順番に足します。 S_nにｒ倍して、S_n-rS_nをする方法なんて考えつきません。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
解答ありがとうございます。 確率論でも解けるのですね！ たしかに、期待値の求め方と同じになっています。 様々な方法を教えてくださりありがとうございます。 後、Σ【n=∞~0】 ｎ^2・(5/6)^n など、ｎに累乗をがついたとき、上の方法を二回行ったら解けたのですが、このやり方で大丈夫でしょうか？