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累乗の和の式の導出について
S=1^2+2^2+3^2+...+n^2 で (n+1)^2-n^3=3n^2+3n+1 (1) において (n+1)^2-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n (2) (n+1)^2-1=3S+3・1/2・n(n+1)-n (3) の式変形の流れがわかりません 特に (1)から(2)に変形されるにあたって (左辺)のn^3が1になっていること (2)から(3)に変形されるにあたって 3Sとは別に3/2・n(n+1)がでてきたこと がわかりません。 どのように変形すれば上記のような変形ができますか？
- mauluru
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まず (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 (1) (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n (2) (n+1)^3-1=3S+3*1/2*n(n+1)+n (3) が正しい式です。 (1)から(2)は、(1)をn=1からn=nまで加える。 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1 ... (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1 を全部足せば(2)になります。 (2)から(3)は、 1+2+3+...+n=1/2*n(n+1) と言っているだけです。
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- bran111
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まず、（1）は間違いです。正しくは (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 （2）(3)はめちゃくちゃ間違いです。正しくは Σ(k=1,n)[(k+1)^3-1]=Σ(k=1,n)[3k^2+3k+1]=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n (2) Σ(k=1,n)[(k+1)^3-1]=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n =3S+3・1/2・n(n+1)-n (3) これは Σ(k=1,n)[k]=n(n+1)/2 Σ(k=1,n)[1]=n を使っています。
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