数学の問題が分からないので解説お願いします

質問

f(x)=x^3-3x+1、g(x)=x^2-2とし、方程式f(x)=0について考える。このとき、次のことを示せ。

(1)f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。

(2 )αがf(x)=0の解ならば、g(α)もf(x)=0の解となる。

(3)f(x)=0の解を小さい順に、α1、α2、α3とすれば、
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2
となる。

至急回答お願いします!!!

回答No.6

gohtraw

色々言われてますな。まあその通りかもね。
とはいえ困ってはいるのだろうし、テストのカンニングだと
したらもう間に合わないのではあるけれど。

（１）
No.3の方のおっしゃる通り、仮に
－２＜ｐ＜ｑ＜２であり、
ｆ（ー２）＜０　かつ　ｆ（ｐ）＞０　かつｆ（ｑ）＜０　かつｆ（２）＞０
だとしたら、
ｆ（ｘ）は
ｘ＝－２とｘ＝ｐの間のどこか
ｘ＝ｐとｘ＝ｑの間のどこか
ｘ＝ｐとｘ＝２の間のどこか
の三点でｆ（ｘ）＝０になるだろうということ。ｐとｑがどの辺で、ｆ（ｐ）とｆ（ｑ）
がどういう値になるか知るために微分をしなさいということ。

（２）
αがｆ（ｘ）＝０の解であるということは、α＾３－３α＋１＝０ということ。
ｇ（α）がｆ（ｘ）＝０の解であるということは、ｘ＝α＾２－２のとき
ｆ（ｘ）＝０になるということ。
だからｆ（ｘ）にｘ＝α＾２－２を代入し、それがゼロになることを示せばいい。
α＾３－３α＋１＝０
ということを利用すると式を簡単にできる。

（３）
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2　という関係より、解の一つ（α１から
α３のどれかは判らないが）をαとすると、他の二つの解は
ｇ（α）＝α＾２－２　および
ｇ（α＾２－２）＝α＾４－４α＾２＋２
となる。よってｆ（ｘ）は
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）（ｘ－（α＾２－２））（ｘ－（α＾４－４α＾２＋２））　・・・（あ）
となる。この時点では
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2
のうちの二つ（どの二つかは判らないが）しか満たしておらず、残る一つを満たすためには
ｆ（α＾４－４α＾２＋２）＝αとなることを示す必要がある。

（あ）を展開すると、ｆ（ｘ）のｘ＾２の係数はゼロだから
α＋（α＾２－２）＋（α＾４－４α＾２＋２）＝０
よって
α＾４－４α＾２＋２＝－αー（α＾２－２）
　　　　　　　　　　　　＝-α＾２ーα＋２　・・・（い）
となる。したがって（あ）は
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）（ｘ－（α＾２－２））（ｘ－（-α＾２ーα＋２））
と変形できる。さらにこれを展開すると、ｆ（ｘ）のｘの係数はー３なので
α（α＾２－２）＋（α＾２－２）（-α＾２ーα＋２）＋α（-α＾２ーα＋２）＝－３
α（α＾２－２）ー（ーα^２ーα＋２）＾２＝－３
これより
（ーα^２ーα＋２）＾２＝α（α＾２－２）＋３
よって
（ーα^２ーα＋２）＾２－２＝α（α＾２－２）＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　＝α＾３－２α＋１　・・・（う）
ここでα＾３－３α＋１＝０なのだから、
α＾３－２α＋１＝α　・・・（え）
（い）から（え）により
ｇ（α＾４－４α＾２＋２）＝ｇ（ーα^２ーα＋２）＝α
であることが示された。