解法教えて下さい

質問

この問題の解き方がわかりません。
ぜひ教えて下さい。

次の漸化式で与えられる数列{An}を求めよ。
(1) A1=1,An+1=An+2^(n-1)
(2) A1=1,An+1=n+1/n×An

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

An+2　の添字の範囲ははっきりしないので添字は[n]のようにカッコ[・]で括って表すことにします。

(1) A[1]=1,A[n+1]=A[n]+2^(n-1)

A[n+1]-A[n]=2^(n-1)
にn+1の代わりにn, n-1, n-2, …, 3, 2と代入して並べると

A[n]-A[n-1}=2^(n-2)
A[n-1]-A[n-2]=2^(n-3)
A[n-2]-A[n-3]=2^(n-4)
…
A[3]-A[2]=2^1
A[2]-A[1]=2^0

辺々加えると、左辺の砥粒の項A[n-1], A[n-2], …, A[2]は相殺してきえるから

A[n]-A[1]=2^(n-2)+2^(n-3)+ … +2^1+2^0

A[n]=A[1]+Σ(k=0, n-2) 2^k (←等比数列の和の公式を適用)
　　=1+ {2^(n-1)-1}/(2-1)
　　=2^(n-1) ...(答)

(2) A[1]=1,A[n+1]={(n+1)/n}A[n]

明らかにA[n]≠0なのでA[n]で割って
A[n+1]/A[n]=(n+1)/n

nを１減らして

A[n]/A[n-1]=n/(n-1)

nをn, n-1, n-2, …, 2 と減らして式を並べると

A[n]/A[n-1]=n/(n-1)
A[n-1]/A[n-2]=(n-1)/(n-2)
A[n-2]/A[n-3]=(n-2)/(n-3)
…
A[3]/A[2]=3/2
A[2]/A[1]=2/1

辺々かけ合わせると、左辺の途中のA[n-1],A[n-2],…A[2]は順に約分できて消え、
また右辺の途中の (n-1), (n-2), …, 3, 2 も約分できて消えるから

A[n]/A[1]=n/1
∴A[n]=nA[1]=n　…(答)

回答No.1

asuncion

(1)
A1 = 1
A2 = 1 + 1 = 2
A3 = 2 + 2 = 4
A4 = 4 + 4 = 8
...
An = 2^(n-1)ではないかと推測できる。

n = 1のとき、A1 = 2^0 = 1
n = kのとき、Ak = 2^(k-1)とする。
Ak+1 = Ak + 2^(k-1) = 2^(k-1) + 2^(k-1) = 2^k
であるから、n = k + 1の場合も成り立つ。
よって、すべての自然数について、An = 2^(n-1)

(2)は、分子・分母がどこからどこまでなのかよくわからないのでパス。