数学 部分集合 真部分集合

質問

部分集合と真部分集合について教えて下さい。

前回の質問内容
http://okwave.jp/qa/q8469317.html

「X = { 1, 2, 3 }　
において、集合Xの部分集合とは、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 { 1, 2, 3 }の 8 個。

「X = { 1, 2, 3 }　
において、集合Xの真部分集合とは、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} の 7 個。

であると教えて頂きました。

X = { 1, 2, 3 }　において、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} はX = { 1, 2, 3 }　の部分集合と言えるし、
真部分集合とも言えますが、どちらで言っても良いのでしょうか？

それとも理解している内容がかなりおかしいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>この集合自体、部分集合として、
>空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、
>{2, 3} 、 { 1, 2, 3 }
>という集合を持つと言う理解は正しいでしょうか？

あなたが考えている「集合が集合を「持つ」」ということを定義して下さい。

ちなみに部分集合の定義は

集合Aの要素が全て集合Bの要素でもある時、AはBの部分集合

部分集合は集合の「関係」であって「持つ？」というような概念は
含みません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
部分集合は集合の関係であってそのような概念ではありませんね。

ご指摘ありがとうございました。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>A ⊆ B
>を「AはBの部分集合である」と読みます。また
>A ⊂ B
>を「AはBの真部分集合である」と読みます。

質問の本筋から少し逸れて申し訳ないないですが、

昔はこういう流儀もありましたが
今は

A ⊂ B
は「AはBの部分集合である」です。

⊂ は等しい集合であることも含みます。

中学で教えるのもこの流儀です。
専問書でも古い流儀のものはほぼ消えています。

回答No.5

itshowsun

質問の核心は、
部分集合と真部分集合となぜ２つを区別するのか？
ということではないでしょうか？
これは上の２つの考え方がどんな役に立つのかと言い換えることが出来ると思います。
今、２つの集合たちをA、Bとすると、
A ⊆ B
を「AはBの部分集合である」と読みます。また
A ⊂ B
を「AはBの真部分集合である」と読みます。
この時
A ⊆ B かつ　B ⊆ A ならば A = B
ということができます。
しかし、
A　⊂ B かつ B ⊂ A であるようなAとBは存在しない
ということができます。
ここで A = B が部分集合で定義できることが重要となります。

回答No.4

one-answer-dog

では、中学程度の数学の問題としてとらえましょう。
「C]と言う記号がありますね。この「C」とはコンビネーションという意味で数学で使われます。
Xと言う全体の事象は、３通りありますね。

では、３つの独立した要素を持つXから、ゼロ個取り出した数は、コンビネーションの３の０ですから、１個ですね。これが、空集合の数です。

次に、３つの独立した要素を持つXから、１個取り出した数は、コンビネーションの３の１ですから、３個ですね。これが、｛１｝、｛２｝、｛３｝

次に、３つの独立した要素を持つXから、２個取り出した数は、コンビネーションの３の２ですから、３個ですね。これが、｛１、２｝、｛１，３｝、｛２，３｝

では、３つの独立した要素を持つXから、３個取り出した数は、コンビネーションの３の３ですから、１個ですね。これが、Xという全体集合の数です。

ここから、部分集合の数は、合っているでしょう。
あなたの示した通りになっているはずです。
更に、部分集合の内、全体集合を取り除いた真部分集合は・・・・・・

ここまで、示せれば、後は分かりやすいですね。

コンビネーションと、階乗たる「！」は、この様に使えば良いのです。
これで、今まで、部分集合として羅列してきた、あなたの思考は、正しいと証明されているはずです。
このコンビネーションという演算形式を使えば、具体的な事象が本当かどうかを数学的な予想の補助になりうる事ができるという事を、ここで私が示しました。

お礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

ありがとうございました。

回答No.3

one-answer-dog

その理解は正しいです。
部分集合は自分自身も部分集合です。
ただ、重複しているだけであるから、
記述しないだけです。
結局、自分自身を含めた、全ての組み合わせの要素を持つ集合が、
部分集合という訳です。

お礼

読み返したのですが、分かり辛いですね。。。

部分集合の{1,2,3}の集合ではなくて
最初に与えられた集合X{1,2,3}は部分集合を考えなければ
空集合や{1}なんかを持つのかどうかと言う質問です。

以上、よろしくお願い致します。

補足

何度もご回答ありがとうございます。

理解しました。

X = { 1, 2, 3 }　
についてなんですが、これは1,2,3と言う3つの数字の
集合です。
集合X自体が、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3}という集合を含むのでしょうか？
集合X は { 1, 2, 3 }という集合ただ1つだと理解しています。部分集合を考えなければ集合X自体、空集合は含みませんよね？　
その集合Xの部分集合は、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 { 1, 2, 3 }
と言う事は理解できます。

質問内容が分かり辛くて申し訳ありません。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

構わないです。ただ

{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} は、「それぞれどれも」、
X = { 1, 2, 3 }　の部分集合と言えるし、真部分集合とも言える。

がよいでしょうね。

補足

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

X = { 1, 2, 3 }　という集合なんですが、
この集合自体、部分集合として、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 { 1, 2, 3 }
という集合を持つと言う理解は正しいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

one-answer-dog

Xについての部分集合とは、Xを含めた部分集合。
Xについての真部分集合とは、Xを含めない部分集合と解釈すれば良いと思います。
つまり、真部分集合とは、イコールの部分の無い部分集合という事でしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

X = { 1, 2, 3 }　という集合なんですが、
この集合自体、部分集合として、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 { 1, 2, 3 }
という集合を持つと言う理解は正しいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。