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空集合について

空集合の同一性について教えて下さい。 具体的には、  φ = { x | x ≠ x }  と定義された空集合と、  φ = { x | Px ∧ ¬Px } と定義された空集合が等しいということが 解りません。 そもそも、同じ空集合が存在するということ自体、理解できません。 大変お恥ずかしいですが、お知恵を貸してください。

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noname#221368
noname#221368

 集合の「=」は、集合の中身(要素)が全て等しいかどうかで判定できる、という前提があるからです(要素の並ぶ順序は問わない)。これを外延性公理といいますが、妥当な「決め」だと思いませんか?。  A={ x | Px },B={ x | Qx }としたとき、Aは、   Pxを満たすxを具体的に羅列したもの.  Bは、   Qxを満たすxを具体的に羅列したもの. と考え、Aの中身とBの中身が全て等しければ、A=Bです。  A= { x | x ≠ x }とした場合、x ≠ xを満たすxなんてあるわけないから、Aは空:A={ }。  B= { x | Px ∧ ¬Px }とした場合、Px ∧ ¬Pxを満たすxなんてあるわけないから、Bは空:B={ }。  集合は中身で決まり、中身がないという意味で、A={ }={ }=Bだという訳です。だったら中身のない集合は一個に決まるので、φという便利記号を与えよう。A=B={ }=φ。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 わかりやすい解説をいただき、おかげさまで理解する ことができました。 ありがとうございました。

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noname#221368
noname#221368

 #1です。以前、哲学カテでお会いした方ですよね?。ついに集合論の領域にまで、いらしたのですね(^^)。  自力で命題理論から始め、第一階述語理論(∀や∃)を通過し、事によったら等号付述語理論までやったのでは?、と思います。自分もこの辺りは、ほとんど独学なので、その辛さはわかるつもりです。  そこで思ったのですが、であれば、前回の応答は余りに技術的過ぎた、と思いました。 >そもそも、同じ空集合が存在するということ自体、理解できません。 とは、「空なもの」が「存在する」という考え自体に納得できない、という事でしょうか?。だとすれば、もう少し補足情報を下さい。  完璧な応えは数理哲学の専門家にお任せするしかありませんが、歴史的経緯による考え方のイメージくらいは、お応えできると思います。

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質問者からのお礼

お世話になります。 >#1です。以前、哲学カテでお会いした方ですよね? はい。以前は、  【論理学】演繹定理について にて、ご回答いただきありがとうございました。 大変、わかりやすい解説に、ひたすら敬服いたします。 ご指摘の通り、自力で勉強しておりまして、常に悩んでおります。 もちろん、私以外にも独学で諸々の分野を学習されている方も 多くいらっしゃると思いますが、いかんせん私の場合、もともとの 頭が悪いため、他の方々よりも苦労しております。 >「空なもの」が「存在する」という考え自体に納得できない、という >事でしょうか?。だとすれば、もう少し補足情報を下さい。 おっしゃる通り、納得できておりません。が、「そういうものだ」と 覚えるしかないかと考えていたところです。つまり、「φ」という 記号により、空集合なるものを人為的に作ったのだ、と。 お言葉に甘えさせて下さい。 新たに、「空集合は存在するのか?」という件名で、質問させて 頂きます。 小生の無知さ加減を露呈しまくっており、恥ずかしい限りですが、 どうぞ宜しくお願いいたします。

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