数学の問題でわからないところがあります。

質問

A^2＋B^2が平方数の時、A^2＋4B^2 が平方数となることはあるか？

という問題です。
解説付きでお願いします。もちろんA,Bは自然数です。

回答No.8

htms42

すみません
＃５、＃７の証明に間違いがありました。
改めて考えてみます。
さしあたり、その部分は削除扱いにしておいてください。

回答No.7

htms42

＃５、＃６です。
b/b'＝２という場合は存在しないという証明のところがわかりにくいのではないかと思います。
何か例を作って調べてみるのがいいのかもしれません。

奇数aがいくつの互いに素な奇数の積で表されるかを考えてから一般化するのもよさそうです。
a=a1a2a3a4・・・
1<a1<a2<a3<a4<・・・
です。
二組以上の解が存在する場合ですからa=a1a2からスタートです。
ピタゴラス数の表現の中では「a=pq、p>q≧1」としましたので
(p、q)＝（a1a2,1）、(p',q')=(a2,a1)
ε＝b/b'=A・B
A=((a1a2)^2-1)/(a2^2-a1^2)>1
B=(a1/1)^2≧9
従って、ε＞２
a<100　の範囲ではa=a1かa=a1a2の場合しかありません。

次はa=a1a2a3となる場合です。
a<1000ではa=a1a2a3a4になる場合は出てきません。
このような数字の中で一番小さいのはa=3・5・7・11＝1155だからです。
a=a1a2a3の場合、４組のピタゴラス数が存在します（３桁の数字の範囲では２０個ほどです）。
。
(1)
q 　　 p
1 　　 a1a2a3
a1 　　 a2a3
a2 　　 a1a3
a3 　　 a1a2 　　 (a3<a1a2)
(2)
q 　　 p
1 　　 a1a2a3
a1 　　 a2a3
a2 　　 a1a3
a1a2 　　a3 　　 (a3>a1a2)
どちらの場合についてもε≠２が得られます。
（B>2　か　B≠整数　かのどちらかになります。AとBの間では約数が存在しません。）

次はa=a1a2a3a4の場合です。8組のピタゴラス数が得られます。
でもa=a1a2a3の場合についての考察から類推の付く状態になっていると思います。
ε≠２です。

これで任意のaについてε≠２に行き着くことができるはずです。

※あちこちのサイトに出てきているピタゴラス数の表現はほとんどすべてが「ディオファントスの式」です。
具体的にピタゴラス数を求めたい場合とか、表現を何か証明に使いたいときとかの場合ではほとんど役に立たないものだと言ってもいいと思います。フェルマーの第一番目の書き込みがあるということで知られているだけのようです。

回答No.6

htms42

＃５です。
すみません。訂正です。
＞規約なピタゴラス数（原始ピタゴラス数）で考えます。
「既約」の間違いです。

ついでに
＃５に書いたピタゴラス数の表現は整数方程式を解いて求めました。
でも結果的にはディオファントスの表現を２で割ったものと同じものになっています。
でも形式的に同じになっただけです。その場合の変数ｐ,ｑにどういう意味を持たせるのかは式だけを見ていたのではすぐにはわからないのです。
私が公式としてまとめたものは「a=pq、b=(p^2-q^2)/2、c=(p^2+q^2)/2」とa,b,cに対応させています。a,b,cは共約数を持たないということから「ｐ、ｑは互いに素な奇数の組である」と決まります。そこから、aは奇数、bは偶数、cは奇数であることも出てきます。
まず、奇数aを与えて、そのaに対してｐ、ｑを決めるという手順でピタゴラス数を決めるという流れで考えていますのでｐ,ｑは任意ではありません。（スタート変数をｐ、ｑとするという風に理解してしまうとｐ,ｑを二次元的に変化させてしまいます。それでは何もわからなくなります。）

回答No.5

htms42

ピタゴラス数についての質問ですね。

規約なピタゴラス数（原始ピタゴラス数）で考えます。
a^2+b^2=c^2
を満たす(a,b,c)です。
a,b,cは共約数を持ちません。
aを奇数とします。
問題は
「aを共通とする２組のピタゴラス数があるとき
(a,b,c)、(a,b',c'）でb=2b'となる場合があるのか」
というものです。

「存在しない」と思います。
ピタゴラス数の一般的な表現を使うと証明できます。
（＃４の回答に示されている表現は「ディオファントスの公式」として知られているものですが整理された表現になっていませんので使いにくいです。作り直した公式を使います。）

奇数aを基準にして求めていくときの公式を作ります。
aを互いに素な２つの奇数の積に分解します。
　a=pq　　（p>q≧1）
このp,qの組に対してb,cが決まります。
　b=(p^2-q^2)/2
　c=(p^2+q^2)/2

aは奇数、p,qは、pq=aを満たす互いに素な奇数の組ですからディオファントスの式に比べて場合分けが大幅に少なくなっています。
・すべての奇数に対してピタゴラス数が存在します。
・１つのaに対して何組のピタゴラス数が存在するかはaを素因数分解したときに出てくる素数の数で決まります。

　aが素数、または素数のべき乗である場合、存在するピタゴラス数は一組です。
　a<100では一組のピタゴラス数が存在するaの数は３０個、二組存在するaの数は１９個です。
　a<100で３組以上存在する場合は存在しません。
　３組以上存在する一番小さいａは105です。105=1・3・5・7で４組存在します。

１つのaに対して２組以上のピタゴラス数が存在する場合を考えます。
(a,b,c),(a,b',c')です。
a=p・q=p'・q'　（a≧p>p'>q'>q≧1）
とすると
b/b'＝(p^2-q^2)/(p'^2-q'^2)
p=a/q　
p'=a/q'
を代入して整理します。
b/b'＝A・B
A=(a^2-q^4)/(a^2-q'^4)　>1
B=(q'/q)^2　>　1
Aは偶数／偶数ですから２になる可能性があります。
ｑ≠１のときBは整数になることはありません。
ｑ＝１の場合、B=q'^2≧9です。
これより「b/b'≠2」であることが出てきます。、

回答No.4

shuu_01

＞　ｙ＝４の場合があるとはどういうことか説明をお願いできるでしょうか?

A^2＋B^2　は平方数とのことですので、

A^2＋B^2 ＝ C^2 とおきます

A、B、C はピタゴラス数です

Jesmanowicz 予想を n ＝ 1 の時であてはめると

A^x＋B^y ＝ C^z　で x、ｙ、z が解を持つには
　x ＝ y ＝ z ＝ 2
であることが必要であるという予想です、、、、、

あっ！　でも、C でなくて、別の D とかの数字で

A^2＋B^4 ＝ D^2

となるような場合、あるかもしれませんよね

また、早とちりしてごめんなさい m(_o_)m

でも、それにしても、A^2＋4B^2 が平方数となることはないと思います

Excel のソルバーとかで計算してみては如何でしょう？

ピタゴラス数は　
(a, b, c) = (m2 － n2, 2mn, m2 + n2) or (2mn, m2 － n2, m2 + n2)
で無限に作れます、、、、あ、無限に作れちゃったら Excel で計算
しきれませんねｗ

お礼

ご丁寧にありがとうございました<(_ _)>
参考にさせていただきます。

回答No.3

shuu_01

No.1 さんの回答

＞　B,Cが自然数なので、2√3BC は0にならず無理数になる。
＞　またC+√3Bも整数にならないから、
＞　(C+√3B)^2 - 2√3BC（= A^2＋4B^2）が平方数になることはない。

ですが、無理数から無理数を引いて、整数になることはないの？

回答No.2

shuu_01

ないと思います

Wikipedia
ピタゴラスの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

Jesmanowicz 予想[編集]1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。
(a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。x, y, z が
　（an）^x＋(bn)^y＝(cn)^z
で自然数解を持つには、
　x ＝ y ＝ z ＝ 2
であることが必要である。

だそうです

とすると、今回の A^2＋4B^2 が平方数となることはあるとすると、

y ＝ 4 の時もあることになり、Jesmanowicz が赤っ恥をかくことになるからです

でも、予想ですから、証明じゃありませんね

ごめんなさい

補足

回答ありがとうございます。
後、ｙ＝４の場合があるとはどういうことか説明をお願いできるでしょうか?

回答No.1

metabolian

仮定より、A^2＋B^2＝C^2（A,Bが自然数より、Cも自然数）と表せ、
A^2＋4B^2=（A^2＋B^2）+ 3B^2
= C^2＋3B^2
= C^2＋(√3B)^2
=(C+√3B)^2 - 2√3BC
B,Cが自然数なので、2√3BC は0にならず無理数になる。
またC+√3Bも整数にならないから、
(C+√3B)^2 - 2√3BC（= A^2＋4B^2）が平方数になることはない。

補足

回答ありがとうございます。
えっと
= C^2＋3B^2
= C^2＋(√3B)^2
の変化は何が起こったのでしょうか(・_・;)