規則性の問題です。解説を見ても分かりません。

質問

(1)次の数列の80番目の文数はいくつですか？
1/1，2/2，3/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，1/1，2/5，3/4，1/3，2/2…

(2)次の数列の1番目から48番目までの数の和を求めなさい。（簡単に求められたらなおいいです。）
1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，1/5，2/5，3/5，4/5…

(3)次のように整数をあるきまりで並べます。このとき、ト列20段目の□の数を求めなさい。
　ア　イ　ウ　エ　オ　カ……ト
(1)１　２　９　10 25 26……
(2)４　３　８　11 24 27
(3)５　６　７　12 23
(4)16 15 14 13 22
(5)17 18 19 20 21
：
：
(20)　　　　　　　　　　　　　□

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

（１）
分子は　1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,…
分母は　1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,…

分子は 1,2,3 を繰り返しています
80番目 ＝ 3×26＋2 番目 なので、分子は 2 です

分母は 1,2,3,4,5 を1つずつカウントダウンしています
1+2+3＋4+5+6+7+8+9+10+11+12 ＝ 78
ですので、79番目は 13、80番目は 12

分子と分母を合わせると、80番目の数は 2/12 です
問題文の数字は約分していないので、答えも約分しません

（２）
分母が 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,,,

と分母が 1なら 1個、分母が 2なら 2個 並び、
その各々について、分子は 1から分母と同じ数字になるまで
1つずつ増えます

1+2+3+4+5+6+7+8+9 ＝ 45 ですので、
46番目の数は 1/10、47番目は 2/10、48番目は 3/10 です

分母が 1の組の合計は 1
分母が 2の組の合計は 1/2 + 2/2 ＝ 3/2
分母が 3の組の合計は 1/3 + 2/3 + 3/3 ＝ 6/3

とこれ異常は大変で、もっと簡単な方法を考えます

分母が n の組の分子の合計は 1＋2＋、、、+n ＝ （1+n）n/2
それを分母 n で割ると、(1+n)/2

1 から 9 までの合計は

（2/2 + 10/2）×9 / 2 ＝ 6×9/2 ＝ 27

これに 46、47、48番目の数の合計
1/10＋2/10＋3/10 ＝ 6/10 ＝ 3/5 を足して

27＋3/5 ＝ 138/5

(3)
ます左上に１をおき、
次ぎにその右に２、下に３、左に４
次ぎにその下に５、右に６、右に７、上に８、上に９
次ぎにその右に１０、下に１１、、、、

と最初は左上の１の１個ですが、そこから右辺、下辺に１列づつ
大きくなっていく正方形みたいな並び方をしています

19列目が終了した時点で 1 から 19X19 ＝ 361 の数字が
埋められ、361 は 1行 19番目＝テ列 の数字です

その右 ＝ １行 ト列目は 362 ですので
その真下 20行目は 362＋19 ＝ 381 です

【答え】
（１）　2/12
（２）　27＋3/5 ＝ 138/5
（３）　381

お礼

ありがとうございました。
とても分かりやすいです。

回答No.3

shuu_01

＞　分母が n の組の分子の合計は 1＋2＋、、、+n ＝ （1+n）n/2
＞　それを分母 n で割ると、(1+n)/2
＞　1 から 9 までの合計は
＞　（2/2 + 10/2）×9 / 2 ＝ 6×9/2 ＝ 27
＞　これに 46、47、48番目の数の合計
＞　1/10＋2/10＋3/10 ＝ 6/10 ＝ 3/5 を足して
＞　27＋3/5 ＝ 138/5

ここの所、はしょり過ぎましたか？

「1 から 9 までの合計は」は 「１の組から９の組までの合計は」です

（1+1）/2＋（1+2）/2＋（1+3）/2＋・・・・＋（1＋9）/2

は等差級数の和であることがわかります

とすると、順番を反対にして

（1+9）/2＋（1+8）/2＋（1+7）/2＋・・・・＋（1＋1）/2

の和も同じです。上の式と下の式の各項を足すと、どれも

（1+1）/2＋（1+9）/2＝ 6

それが 9項あるので、9 をかけて、同じの２つずつ数えてるので
２で割って、6×9 / 2 ＝ 27 と 計算しました

等差級数の和の公式を覚えていたら、どうってことないのですが
僕は等差級数の和も等比級数の和も覚えられないので、
試験の最中に自分で導いてます

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

解説を「見てるだけ」じゃ、わからないかと。
試行錯誤が必要ですね。

(1)普通に見ても規則性がなさそうなので、分母と分子を分けて考えてみると・・・
あえて、約分していないのもヒントです。

(2)これはある「かたまり」でまとめられるところまではわかると思います。
かたまりごとの和の規則性が見破れれば、計算は早いです。
ただ正確に見破る（裏付けをはっきりする）には、数列の和の計算（Σ記号）が必要になります。

(3)求めたい場所の数字が「上からの続きでくるのか」「左からくるのか」「右からくるのか」が、ポイントになります。これがわかっていれば、規則性が見破れているということです。

そのために、「2乗の数」に注目します。
1^2＝ 1、2^2＝ 4、3^2＝ 9、・・・がどのような場所に現れていますか？
そこを足掛かりにしていきます。

お礼

ありがとうございました。