行列の階数を求める。

質問

行列の階数を求めることは小行列式を使い方がどうですか。例えばこの理解はわからない。
http://okwave.jp/qa/q8441700.html

回答No.1

muturajcp

(小行列式の定義)
一般に,(m,n)行列A=(aij)のs個の行およびs個の列を任意に取り出し
これらに属する数を並べて得られる行列式
Ds=
|a(i1,j1),…,a(i1,js)|
|…………………………|
|a(is,j1),…,a(is,js)|
を行列Aのs次の小行列式という。

(階数の定義)
行列Aにおいて,r次の小行列式の中には0でないものが存在し,
(r+1)次の小行列式はすべて0であるとき,
行列Aの階数(rank)はrであるといい
rankA=r
と表す.

(1)
Aの(r+1)次の小行列式はすべて0であるとき,
(r+1)以上次の小行列式はすべて0となるから,
(r+1)以上次の小行列式の中には0でないものが存在しないから
行列Aの階数がrより大きくなることはないから
rankA≦r

(2)
Aのr次の小行列式の中には0でないものが存在するとき,
(r-1+1=r)以下次の小行列式がすべて0となることはないから,
行列Aの階数がrより小さくなることはないから
rankA≧r

1.
A=
(2,-1,b)
(a,2,-2)
(4,-2,c)
とすると
Aは3次行列で
3+1=4次の小行列式は無くすべて0であるから
(1)から
rankA≦3
Aの1次小行列式(1行1列目)は2≠0だから
(2)から
1≦rankA
rankA≦3だから
1≦rankA≦3…(3)

(a≠-4)&(c≠2b)のとき
行列Aにおいて,3次の小行列式は|A|だけで
|A|=(a+4)(c-2b)≠0で,
(2)から
rankA≧3
(3)から
rankA=3

(a=-4)or(c=2b)のとき
2+1=3次の小行列式は|A|だけですべて
|A|=(a+4)(c-2b)=0だから,
(1)から
rankA≦2…(4)

(c=2b)&(a≠-4)のとき
Aの2次小行列式
|2,-1|=4+a≠0
|a, 2|
があるから,
(2)から
rankA≧2
(4)から
rankA=2

(a=-4)&(b≠1)のとき
Aの2次小行列式
|-1,b|=2(1-b)≠0
|2,-2|
があるから,
(2)から
rankA≧2
(4)から
rankA=2

(a=-4)&(c≠2)のとき
Aの2次小行列式
|2,-2|=2(c-2)≠0
|-2,c|
があるから,
(2)から
rankA≧2
(4)から
rankA=2

(a=-4)&(b=1)&(c=2)のとき
Aの1+1=2次の小行列式は
|a,-2|=|a,2.|=|-1,b|=0
|4.,c|.|4,-2|.|-2,c|
|2,b|=|2,-1|=|2.,b|=0
|4,c|.|4,-2|.|a,-2|
のようにすべて0だから,
(1)から
rankA≦1
(3)から
rankA=1
∴
(a≠-4)&(c≠2b)のときrankA=3
(a=-4.or.c=2b)&(a≠-4.or.b≠1.or.c≠2)のときrankA=2
(a=-4)&(b=1)&(c=2)のときrankA=1

2.
B=
(a,b,b)
(b,a,b)
(b,b,a)
とすると
Bは3次行列で4次の小行列式は無くすべて0であるから
(1)から
rankB≦3…(5)

(a≠b)&(a≠-2b)のとき
Bの3次の小行列式は|B|だけで
|B|=(a+2b)(a-b)^2≠0で,
(2)から
rankB≧3
(5)から
rankB=3

a=-2bのとき
Bの2+1=3次の小行列式は|B|だけですべて
|B|=(a+2b)(a-b)^2=0だから,
(1)から
rankB≦2…(6)

a=-2b≠0のとき
Bの2次小行列式
|a,b|=a^2-b^2=3b^2≠0
|b,a|
だから
(2)から
rankB≧2
(6)から
rankB=2

a=bのとき
Bの1+1=2次小行列式は
|a,b|=|b,b|=|b,a|=0
|b,a|.|b,a|.|b,b|
|a,b|=|b,b|=0
|b,b|.|a,b|
のようにすべて0だから
(1)から
rankB≦1…(7)

a≠0のとき
Bの1次小行列式(1行1列目)はa≠0だから
(2)から
1≦rankB…(8)

a=b≠0のとき
a=bから(7)rankB≦1
a≠0から(8)1≦rankB
(7),(8)から
rankB=1

a=b=0のとき
Bのすべての
0+1=1次小行列式
a=b=0
だから
(1)から
rankB=0

a≠b&a≠-2bのときrankB=3
a=-2b≠0のときrankB=2
a=b≠0のときrankB=1
a=b=0のときrankB=0