行列の階数について質問です．

質問

行列の階数について質問です．
A,Bを行列，P,Qをある正則行列とし，A=PBQと書けているとき，

rankA=rank(PBQ)

であることの証明はどのようにしたらよいでしょうか？

よろしくお願いいたします．

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

rank XY ≦ rank X と rank XY ≦ rank Y から
rank PBQ = rank B を導く方法は、既に示した。

No.2 補足で「流れはわかったのですが」と
書いていたのは、反故になったのだろうか。
賽の河原…という気もする。

尚、rank XY ≦ rank Y については、
行ベクトルに右から行列を掛ける線型写像を考えて、
rank XY ≦ rank X のときと同様に処理すればよい。

新たに追加された質問
＞　Im(XYZ) ⊆ ImX，ImY，ImZ
＞　も同様にして示せますか？
は論外。

例えば、
X が 4 行 4 列
Y が 4 行 2 列
Z が 2 行 2 列 の行列だった場合、
Im XYZ ⊆ ImZ には成りようが無い。

お礼

すいません．
大きく勘違いをしていました．

任意の行列X,Yに対して

rankXY ≦ rankX

が言えてれば，A=PBQのように3つの行列の積になっていても
No.2の回答のように示せますね．

長々とありがとうございました．

回答No.4

alice_44

Y が、ベクトル空間 V から ベクトル空間 W への
線型写像の係数であるとして、

Im Y ⊆ W より、
Im XY = { XYv | v ∈ V } = { Xw | w ∈ Im Y } ⊆ { Xw | w ∈ W } = Im X.

X の定義域を制限したと見れば ok。

補足

ありがとうございます．

X,Y,Zのように3つの場合でも

Im(XYZ) ⊆ ImX，ImY，ImZ

も同様にして示せますか？

「Im(XYZ) ⊆ ImX」は同じように，

Im(XYZ) ＝ ｛ XYZu ｜ u ∈ U ｝
　　　　 ＝ ｛ XYv ｜ v ∈ ImZ ｝
　　　　 ⊆ ｛ XYv ｜ v ∈ V }
　　　 　＝ ｛ Xw ｜ w ∈ ImY ｝
　　　　 ⊆ ｛ Xw ｜ w ∈ W ｝
　　　　 ＝ ImX

として出来たのですが，ImY，ImZにも含まれることがうまく出来ません．

これが出来れば，A＝PBQなので

ImA ＝ Im(PBQ) ⊆ ImB ⇒ rankA ≦ rankB

が言えると思うのですが．

よろしくお願いいたします．

回答No.3

alice_44

よりによって、最も no future な定義を採用しているなぁ。
よっぽど××××な教員の指導でも受けたか…

そこから始めるなら、長くなるが、まず、
列基本変形は正則な行列を右から、
行基本変形は正則な行列を左から掛けることで実現でき、
このため、行列に基本変形を施しても、その前後で
一次独立な列の本数・一次独立な行の本数は変わらない
ことを示す。

これにより、rank は、行列の一次独立な列の本数であり、
よって、その行列をベクトルに左から掛けるという線型写像の
像空間の次元でもあることが解る。
Im XY ⊆ Im X より、rank XY = dim Im XY ≦ dim Im X = rank X.

補足

rankの定義として，
「その行列をベクトルに左から掛けるという線型写像の像空間の次元」
ということまでは理解しています．

しかし「Im XY ⊆ Im X」というのはどこから導けばよいのですか？
これが分かれば証明できると思います．

何度も質問を重ねてしまい，申し訳ないです．

回答No.2

alice_44

任意の行列積 XY について、rank XY ≦ rank X かつ rank XY ≦ rank Y
が成り立つ。(その証明のしかたは、rank の定義のしかたにもよるが)

これを使って、
rank A = rank( P B Q ) ≦ rank( P B ) ≦ rank B,
rank B = rank( Q^(-1) A P^(-1) ) ≦ rank( Q^(-1) A ) ≦ rank A.
両式を併せると、rank A = rank B.

補題 rank XY ≦ rank X を示すためには、
貴方の採用している rank の定義が必要なので、補足にどうぞ。

補足

回答ありがとうございます．
流れはわかったのですが，やはり
rank XY ≦ rank X かつ rank XY ≦ rank Y
となることがわかりません．

私が採用している階数の定義は
「Aに基本変形を施して階段行列Bを作ったとき，その行列Bの階段の個数」
です．

回答No.1

alice_44

証明不要。
その式は、rank の性質と関係ありません。
行列に対して定義された任意の写像 f について、
A = PBQ であれば、f(A) = f(PBQ) です。

補足

すいません．間違えてました．

rankA=rankB

の証明です．