行列の階数

質問

以下の４×４の行列の階数（rank）を求めなさい。
という問題があります。

｜Ｐ１１１｜
｜１Ｐ１１｜
｜１１Ｐ１｜
｜１１１Ｐ｜

何度か計算した結果
おそらく階数は４だと思うのですが
自信がありません。

わかられる方はおりませんでしょうか？

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>おそらく階数は４だと思うのですが

Ｐの値によって階数は違います。Ｐ≠１,－３であれば、確かに階数は４です。Ｐの値が１や３のときはどうなりますか？簡単ですので、ご自分で考えてみて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございました。

つまり
Ｐ＝１のとき、　rank(A)=1
Ｐ＝－３のとき、rank(A)=3
Ｐ≠１、－３のとき、　rank(A)=4
ということですね？

納得しました。
ありがとうございました。

回答No.2

totoro7683

行列式を計算して、その値が０でなければ階数は４です。DetA=（P-1)^3（P+3)となりますのでP=1、-3のとき以外は階数は４です。
一般にすべてのr＊r小行列式が０のとき階数はr未満であり、一つでも０でない小行列式があるとr以上です。

P=1のとき任意の２＊２小行列の行列式が０　階数　１
P=-3ときは３＊３小行列の行列式が０でない　階数　３

階数は基本変形によってもとめるのが基本ですが、4*4暗いなら上の判定法は役に立ちます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

>行列式を計算して、その値が０でなければ階数は４です。
↑今まで行列の問題を解く際には
それほど意識していませんでした。

判定方法ともども今後、参考にさせていただきます。